Методичка 2 (Кристаллография)

Контрольні питання

1.Дайте визначення основних елементів симетрії: центра, площини і повторної осі.

2.Що таке інверсійна вісь симетрії?

3.Приведіть позначення основних елементів симетрії за формулою симетрії і в міжнародній символіці.

4.Сформулюйте основні теореми про сполучення елементів симетрії.

5.Чи можливі такі формули симетрії:

4L33L23РС, L66L27РС, 4L36L29РС, 3L26РС ?

6.Скільки площин симетрії у кулі, конуса, правильного тетраедру?

7.Що розуміють під класом симетрії?

8.Що таке кристалографічні категорії і сингонії?

9.Перелічіть кристалографічні сингонії, що належать до нижчої категорії, і їхні характерні ознаки.

10.Перелічіть кристалографічні сингонії, що належать до середньої категорії, і їхні характерні ознаки.

11.Перелічіть кристалографічні сингонії, що належать до вищої категорії, і їх характерні ознаки.

12.Поясніть значення міжнародного символу m3m.

4.ОСНОВНІ ТИПИ МЕТАЛЕВИХ СТРУКТУР

ІЩІЛЬНІСТЬ ПАКУВАННЯ

Мета роботи - вивчення типових структур металів; розв'язання задач на визначення базису комірки, координаційного числа, коефіцієнта пакування; на визначення розмірів тетраедричних і октаедричних порожнин і атомних радіусів.

4.1. Типові структури металів

Попередньо в даній роботі студент, на підставі розгляду періодичної системи Д.І. Менделєєва, повинен переконатися, що за винятком марганцю і ртуті, елементи підгрупи А, у тому числі перехідні метали і більшість рідкісноземельних елементів, а також метали підгрупи IB і IIB кристалізуються в одну з наступних типових металевих структур: ГЦК (рис. 4.1), ОЦК (рис. 4.2) і ГК

(рис. 4.3).

Рис. 4.1. Кубічні гранецентровані ґрати:

а- елементарна комірка;

б– щільно упаковані площини {111}; в - октаедричні порожнини (о); г - тетраедричні порожнини (о);

●- атоми (іони) металу

УГЦК ґратах атоми розміщуються по вершинах елементарної комірки й у центрах її граней (рис. 4.1,а). Кожен

атом у цих ґратах оточений дванадцятьма найближчими сусідами, що розташовуються на рівних відстанях a2/2 , де а - параметр кристалічних ґрат. Таким чином, координаційне число

вданих ґратах К = 12. Розглянута структура містить два типи порожнин (міжвузловин), у яких можуть розташовуватися більш дрібні атоми інших елементів, утворюючи тверді розчини проникнення: октаедричні і тетраедричні (рис. 4.1, в, г).

Найбільше щільно упакованими площинами в ГЦК ґратах є площини {111}, у яких атоми розташовуються а кутах рівносторонніх трикутників (рис. 4.1,б). Кожна з цих площин має три щільно упакованих напрямки, по яких, можна вважати, атоми стикаються один з одним.

ОЦК ґрати є менш щільно упакованими, ніж ГЦК. Атоми в ґратах ОЦК розташовуються у вершинах і в центрі елементарної комірки (рис. 4.2,а). Кожен атом має вісьмох найближчих сусідів, що розташовані на відстані a3/2 (К = 8).

Рис. 4.2, Кубічні об'ємноцентровані ґрати:

а- елементарна комірка;

б– щільно упаковані площини {110};

в- октаедричні порожнини (о);

г- тетраедричні порожнини (о);

●- атоми (іони) металу

Уструктурі ОЦК також є два типи порожнин: тетраедричні (рис. 4.2,г) і октаедричні (рис. 4.2,в).

В ОЦК ґратах найбільш щільно упакованими є площини {110} (рис. 4.2,б), у цих площинах існують два напрямки, уздовж яких тверді кулі будуть стикатися.

У ГК ґратах є два типи порожнин: більш великі (октаедричні) (рис. 4.3,в) і дрібніші (тетраедричні) (рис. 4.3,r).

Тривимірні ГК ґрати будуються шляхом накладення найбільш щільно упакованих площин {001} у послідовності АВАВ..., у той час як при побудові ГЦК ґрат такі ж найбільш щільно упаковані площини {111} накладаються в послідовності АВСАВС..., тобто при цьому використовується третє можливе положення щільно упакованого шару, позначеного на рис. 4.3,б літерою С.

4.2. Атомні й іонні радіуси. Щільність пакування

Під ефективним радіусом атома або іона розуміється радіус сфери його дії, причому атом (іон) вважається кулею, що не стискається. Для визначення ефективного радіуса атоми (іони) уявляють як дотичні тверді кулі у яких відстань між центрами дорівнює сумі їхніх радіусів r. Атомні й іонні радіуси визначаються експериментально за результатами рентгеноструктурних досліджень типів і параметрів кристалічних ґрат. Розмір атомів і іонів додержується періодичності системи Д.І.Менделеєва.

Відносна щільність пакування ґрат характеризується коефіцієнтом компактності η, що являє собою частку об'єму, зайняту сферичними атомами (іонами) в елементарній комірці, у порівнянні з загальним об'ємом даної комірки:

η ΣVк V

де ΣVк - об'єм атомів (куль), що припадає на одну елементарну комірку; V - загальний об'єм елементарної комірки. Для конкретного обчислення коефіцієнту компактності треба визначити кількість атомів, що належать елементарній комірці, їх об’єм і об’єм елементарної комірки, що виражені через радіус атому, або періоди елементарної комірки.

4.3. Виконання роботи

1.Навести схеми елементарних комірок типових металевих структур. Для кожного типу структури за допомогою відповідних макетів вказати та обґрунтувати: координаційне число; відстань між центрами найближчих атомів; індекси найбільш щільно

пакованих напрямків та площин і кількість таких елементів; розташування тетра, та октаедричних порожнин; кількість атомів, що належать елементарній комірці.

2. Є система рівновеликих куль. Кулі в шарах упаковані так, що кожна куля оточена шістьма найближчими сусідами. Між кулями утворюються проміжки В и С (рис. 4.4). Кожен наступний шар накладений на попередній так, що кулі розташовуються над проміжками В нижнього шару, третього - над проміжками С, четвертий шар повторює перший. Визначити базис комірки, координаційне число і коефіцієнт упакування (рис. 4.5). Визначити те ж саме для структури, в якій третій шар повторює перший (рис. 4.6).

Рис. 4.4 Розташування куль і порожнин у кульовому шарі: А – центри куль; В и С – порожнини

Рис. 4.5 Розташування куль у тришаровому пакуванні і елементарна комірка, що відповідає даному пакуванню:

- центри куль першого і четвертого шарів;

- центри куль другого шару; - центри куль третього шару

Рис 4.6. Розташування куль у двошаровому пакуванні:

- центри куль першого і третього шарів; - центри куль другого шару

Вузли 1, 2, 3, 4 (у першому шарі), 6, 7, 8, 9 (у третьому шарі) утворюють гексагональну комірку (пунктир).

3.Є система рівновеликих куль (R = const). Ці кулі упаковані так, що елементарна комірка, яка описує їхнє розташування: а) кубічна примітивна, б) кубічна об'ємноцентрована; в) кубічна гранецентрована. Визначити коефіцієнт компактності.

4.Гранецентровані кубічні ґрати, що описують найщільніше пакування куль, мають тетраедричні і октаедричні порожнини. Тетраедричні порожнини утворюються між трьома кулями одного шару і кулею наступного шару (рис. 4.7,а). Октаедричні порожнини утворюються між трьома кулями наступного шару (рис. 4.7,б, в). Центри трьох куль одного шару утворюють трикутник, повернений на 60º щодо трикутника, утвореного центрами куль іншого шару. Визначити максимальні радіуси куль, що можуть бути розміщені в тетраэдричних і октаедричних порожнинах.

Рис. 4.7. Розміщення тетраедра (а) і октаедра (б) в елементарній комірці і перетин куль

площиною, що проходить через вузли 14, 9, 10, 13 (в)

5.Показати, що для найщільнішого гексагонального пакування куль (двошарового) відношення c/a = 1,633.

6.Структури металів характеризуються щільними кульовими упакуваннями: ГЦК і ГК з КЧ = 12 і ОЦК із КЧ = 8. Використовуючи дані табл. 4.1 визначити атомні радіуси R зазначених металів і побудувати графік R = f(z).

Рис. 4.8. Тетраедр і його перетин площиною ADE,

що перпендикулярна ребру BC

5. ТОЧКОВІ ДЕФЕКТИ

Мета роботи - знайомство з видами точкових дефектів; вивчення основ термодинаміки точкових дефектів.

5.1. Види точкових дефектів

Уданій роботі студенти вивчають дефекти кристалічної будови металів розміри яких у всіх трьох напрямках не більше декількох атомних діаметрів. Такі дефекти прийнято називати точковими або нульмірними. До точкових дефектів належать вакансії, міжвузлові атоми, домішкові атоми і комплекси цих дефектів.

Укристалічних ґратах металу навколо точкових дефектів спостерігаються викривлення. У першому наближенні точкові дефекти можна розглядати як центри розтягнення (вакансія) чи стиску (міжвузловий атом) у пружному середовищі. Помітні зсуви навколо точкових дефектів спостерігаються тільки в перших двох шарах сусідніх атомів, причому ці зсуви невеликі і складають частки міжатомної відстані.

5.2. Термодинаміка точкових дефектів

Точкові дефекти підвищують енергію кристала. Основна частка енергії утворення точкового дефекту зв'язана з порушенням періодичності атомної структури і сил зв'язку між атомами.

Теоретичні розрахунки показують, що енергія утворення вакансій у ГЦК ґратах міді складає близько 1 еВ, а міжвузлового атома - від 2,5 до 3,5 еВ.

Незважаючи на збільшення енергії кристала при утворенні точкових дефектів, вони можуть знаходитись в термодинамічній рівновазі в ґратах тому, що їхнє утворення приводить до зростання ентропії.

Рівноважна концентрація вакансій CV = n/N, де n – число вакансій у кристалі, який складається з N атомів, передається наступною формулою

де Eo - енергія утворення однієї вакансії, k — стала Больцмана, а Т - температура в градусах Кельвіна.

Ця формула слушна і для міжвузлових атомів, тоді у виразі (5.1) Eo - енергія утворення міжвузлового атома.

6. ВЗАЄМОДІЯ ДИСЛОКАЦІЙ

Мета роботи — ознайомитися з характером сил, що діють на дислокацію; визначити сили, що діють між дислокаціями.

6.1. Пружна взаємодія дислокацій

На дислокацію можуть діяти зовнішні і внутрішні сили, під дією яких вона рухається, виконуючи певну роботу. Сила, що діє на одиницю довжини дислокації, дорівнює добутку вектора Бюргерса на тангенціальну напругу в площині ковзання.

Внутрішні сили виникають від дії поля напружень інших дислокацій, що знаходяться в кристалі. Поле напружень навколо дислокацій має складний характер, що позначається на їхній взаємодії.

У площині ковзання на дислокації, що розташовані у паралельних площинах зсуву діють сили

де G - модуль зсуву;

μ - коефіцієнт Пуасона;

x - координата у напрямку вектора Бюргерса (відстань між екстраплощинами);

y - координата в напрямку, перпендикулярному площині ковзання (відстань між площинами ковзання).

Величина і характер сил, що діють між рівнобіжними крайовими дислокаціями, представлені на рис. 6.1.

Якщо вони лежать в одній площині ковзання, то між ними діють сили або відштовхування або притягання

Рівнобіжні гвинтові дислокації діють одна на одну з силою