Методичка 1 (Кристаллография)

УДК 541.4 620.18

Методичні вказівки до практичних занять з курсу "Кристалографія і дефекти кристалічних ґрат" (для студентів спеціальності 1107) /Склали: С.І.Марчук, М.М.Власенко. - Донецьк: ДонНТУ, 2003. - 52 с.

Методичні вказівки складені відповідно до типової програми 11.07.29 1990 р. і робочої програми курсу, розроблених кафедрою фізичного матеріалознавства ДонНТУ.

В опис кожного практичного заняття входять коротка теоретична частина, задачі і контрольні питання, в опис лабораторних робіт включені методика і порядок їхнього виконання. Надані вказівки включають також контрольні задачі з основних розділів курсу.

1.ВИЗНАЧЕННЯ ІНДЕКСІВ ВУЗЛІВ, НАПРЯМКІВ

ІПЛОЩИН У ПРОСТОРОВИХ ҐРАТАХ

Мета роботи - придбати навички практичного визначення індексів вузлів, напрямків і площин у просторових ґратах.

1.1. Визначення індексів вузла

Перш ніж приступити до виконання даної роботи, студент повинний засвоїти поняття "кристалічна структура", "просторові ґрати", "елементарна комірка".

Для визначення положень вузлів, напрямків і площин застосовують метод кристалографічного індиціювання, що зручний для всіх систем координат. Кристалографічні системи координат вибирають відповідно до симетрії кристалу, не обов'язково прямокутні. Кристалічні ґрати характеризуються шістьома параметрами елементарної комірки: довжинами ребер а, b, c і кутами α, β, γ між координатними осями. У загальному випадку a ≠ b ≠ c і α ≠ β ≠ γ ≠ 90º. Напрямки осей координат звичайно вибирають уздовж ребер елементарної комірки.

Якщо один з вузлів ґрат прийняти за початок координат, то

вузла, які виражені у періодах ґрат. Ці три числа і є індексами вузла, а сукупність чисел m, n, p, записана у подвійних квадратних дужках [[m n p]], називається символом вузла. Числа в символі пишуться підряд, без ком, читаються порізно. Знак мінус пишеться над цифрою. На рис. 1.1 наведені приклади індексів деяких вузлів.

1.2. Визначення індексів напрямку

Напрямки в просторових ґратах або збігаються, або рівнобіжні атомним рядам у кристалічних ґратах і характеризуються визначеним нахилом до осей в обраній

пропорційні індексам m, n, p;

Рис. 1.1. Символи вузлів у плоскій сітці (а) і вершин, центра і центрів граней елементарної комірки (б)

Індекси напрямку записують у квадратних дужках, не розділяючи комами [u v w]. Знак мінус указують над числом.

Якщо напрямок не проходить через початок координат, то можна використовувати один з наступних варіантів:

а) узяти напрямок, паралельний заданому (бо у кристалі всі паралельні напрямки структурно еквівалентні), який проходить через початок координат, визначити індекси [[mnp]] найближчого

до початку координат вузла, що лежить на узятому напрямку і визначити індекси напрямку згідно (1);

б) перенести початок координат в один з вузлів, що лежать на заданому напрямку, визначити індекси напрямку, що проходить через початок координат, як було зазначено вище;

в) визначити індекси [[m1 n1 p1]] і [[m2 n2 p2]] будь-яких двох вузлів, через які проходить заданий напрямок. Індекси напрямку в цьому випадку являють собою взаємно прості числа, пропорційні різниці відповідних індексів вузлів

Варто звернути увагу на те, що індексами напрямку u, v, w повинні бути цілі, взаємно прості числа. Якщо числа m, n, p виявляться дробовими, або не взаємно простими, необхідно привести їх до найменшого загального знаменника і відкинути його, або розділити цілі числа на найбільший загальний дільник. Важливо звернути увагу на те, що структурно еквівалентні непаралельні напрямки в просторових ґратах (відповідні однаковим елементам елементарної комірки) мають подібні індекси.

Рис. 1.2. Визначення символів напрямків у кристалічній структурі

Так, наприклад, якщо у вузол 11 (рис. 1.2) помістити початок

координат, то напрямок R8, що збігається з віссю Х, буде мати

У кристалографії прийнято характеризувати положення площини не величиною відрізків, що відтинаються на осях (параметрами Вейса), а зворотними їм величинами (індексами Міллера). Індекси Міллера — це взаємно прості цілі числа, які визначаються зі співвідношення:

Індекси площини записують у круглих дужках без ком (h k l). Знак мінус указують над відповідним індексом.

Кристалографічна площина, зображена на рис. 1.3, відтинає на осях координат відрізки m = 1, n = 1/2, p = 2. У такому випадку параметри Вейса р = 2, q = I, r = 4, виходячи з того, що 2 : 1 : 4 = 1 : 1/2 : 2. Індекси Міллера визначаємо відповідно до умови (3) і з дотриманням того, що вони повинні бути взаємно простими і цілими:

21 : 1: 41 1: 2 : 21 2 : 4 : 1

Виходить, h = 2, k = 4, l = 1, і індекси площини будуть мати вигляд (241).

Необхідно звернути увагу на те, що як і у випадку напрямків, структурно еквівалентні непаралельні площини мають подібні

(010), (001), (100), (010), (001) відповідають граням елементарної

кубічної комірки. Сукупність структурно еквівалентних площин позначають фігурними дужками {hkl}. Наприклад, {110} – сукупність усіх площин, що проходять по діагоналям протилежних граней.

1.4. Особливості індексування гексагональних кристалів

Особливості індексування гексагональних кристалів пов'язані з тим, що в них при звичайній системі індексування з трьома координатними осями не виконуються умови одно системності символів структурно еквівалентних елементів. Так, індекси граней гексагональної призми в тривісній системі координат неоднакові (рис. 1.4,б). Ця невідповідність усувається, якщо до трьох звичайних координатних осей 0Х, 0Y, 0Z додати ще одну координатну вісь 0U, що лежить у горизонтальній

Приклади індексування площин у гексагональних кристалах наведені на рис. 1.5,а,б.

Рис.1.5 Приклади індексування площин (а, б)

інапрямків (в) у гексагональному кристалі

Увипадку індексування напрямків у гексагональних кристалах взаємозв'язок між тривісними [u v w] і чотиривісними

[r1 r2 r3 r4] символами більш складний і ці символи в принципі не збігаються.

Між чотиривісними індексами напрямків існує просте співвідношення

яке нагадує аналогічне співвідношення (4) між індексами площин.