Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

.Pdf

Скачиваний:

1822

Добавлен:

06.02.2016

Размер:

3.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3216 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

y cos

2x 1

;

x 1

y 5arctg x 2

cos

8).

;

y ctg

2x 1

;

x 2

y etg

9).

cos

;

y sin 3

;

2x 1

y earctg

10).

sin

;

y tg3

;

2x 1

y 6cos x 2

11).

2x tg2x ;

y ln 3

2x 1

;

y 6arccos x 3

ln 2x ;

12).

y cos 3

2x 1

;

ctg

;

y 2co s

13).

y arcsin

x 1

;

x 2

cos

y 2arcsin

14).

;

arctg(xy) y 2 x 0.

y sin 2x 3x ;

tg x 2 y yx2 0.

y ctg2x 5 x ;

arccos y2 xy 0.

y tg2x cosx ;


arccos	x	y 2 x 0.


y
y x2 sin 2 x ;
y		x	2	y 0.
arcsin

x
y 2x 1 tg x ;
sin x2 y		x	0.
		y2

y3x 1 2 x 2 ;

xtg y sin x y 0.

ysin 3x x 2 ;

152

y ctg

x 1

;

x 2

y 6sin 3x 1

15).

x3 tg 2x ;

y ln 3

;

2x 1

y 6arctg 3x 4

ln 2x 1 ;

16).

y tg3

;

2x 3

y 4ctg

17).

x sin 2x ;

y cos

2x 1

;

x 1

y 4arctg

18).

2 3 x2 cos 2x ;

y ctg

2x 1

;

x 1

19).

y 3cos 2x 1

ctg

;

y arccos

x 1

;

x 1

tg xy y cos x 0.

	x ctg 2 x
y cos		;

	2

ex2 y 2x 1 0. y

y ctg2x cosx ;

sin x2 y xy 0.

y tg3x x3 ;

y cos2x sin y x 0.

y tg 2x 3 x 2 ;

y sin x cos y x 0.

y ln 2x x 2 ;

e x 2 y xy3 0.

	y 3arcco s2 x 4				y ln 2x tg x ;
20).				x3 sin 3x ;

	y cos3	x 1	;		e xy3 x tg y 3 0.
		x 1

	y 2tg x 2				y cos 2x x 2 ;
21).		3 x2		sin 3x ;

153

y arctg

x 1

;

x 2

y 2arctg x 2

22).

x2 ctg x ;

y tg

x 1

;

x 2

y esin

23).

3 2x cos3x ;

y tg

2x 1

;

x 2

y earcsin

5x2 tg2x ;

24).

y sin

x 1

;

x 2

cos

y 5ctg

25).

;

y sin

2x 1

;

2 x

yx2 sin xy2 0.

y cos 2x x 2 ;

arcsin yx y3 x2 0.

y arctgx 3x ;

ctg xy x sin y 0.

y arctg x cos x ;

sin xy x ctg y 0.

y arcsin x 2 x ;

	x
arccos	x	y 2 x 0.
arccos		y 2 x 0.

	y

sin

y 5arcctg

x 4

26).

;

y ctg

2x 1

;

3 x

27).

y 3tg 2 x

4 2x3 sin 3x ;

y cos

x 1

;

x 1

28).

y 3arctg 2 x 3

4x2 cos 2x ;

y arctg x 2 x 2 ;
	y		2
arcsin		x		y 0.

x
y arctg x x3 ;
e2 x ctg y xy 2					0.

y ctg x ln 2 x ;

154

y tg

x 4

;

e2 x ctg y xy 2 0.

2x 5

y tg x cosx ;

29).

y 2sin

x 4

x3 ctg x ;

x e2 y cos x2

y2 0.

y ln

;

2x 1

y cos2x sin x ;

30).

y 2arcsin x 4

5x ln 3x ;

y e2 x sin x2

y2 0.

y ctg 3

;

155

3.3 Исследование функций с помощью производных

Одно из важнейших назначений дифференциального исчисления – это применение его к исследованию поведения функций. Применение дифференциального исчисления с целью исследования функций опирается на довольно простую связь,

которая существует между поведением функции и свойствами ее производных, прежде всего ее первой производной.

3.3.1 Монотонность функции. Экстремумы функции

Предположим,	что функция		f (x)	определена на некотором
промежутке (а; b),	а	x0 является		внутренней		точкой	этого
промежутка.
Определение 1. Пусть функция f (x)					определена на множестве
D и пусть D1 D . Если для любых значений x1, x2 D1						аргументов из
неравенства x1 x2 вытекает неравенство:					f (x1 ) f (x2 ) , то функция
называется возрастающей на множестве				D1 ; если f (x1 ) f (x2 ) ,				то
функция называется	неубывающей			на	множестве D1 ;		если
f (x1 ) f (x2 ) , то функция называется убывающей на множестве								D1 ;
если f (x1 ) f (x2 ) , то		функция	называется невозрастающей					на
множестве D1 .

Теорема 1 (необходимое условие). Если дифференцируемая

на интервале	(a; b) функция	f (x) возрастает	(убывает), то
f (x) 0 ( f (x) 0) для x (a; b) .
Теорема	2 (достаточное	условие). Если	функция f (x)

156

дифференцируема на интервале (a; b) и						f (x) 0		( f (x) 0)		для
x (a; b) , то эта		функция		возрастает		(убывает)		на	интервале
(a; b) .
Определение		2.	Точка	х0	называется		точкой		максимума
функции	y f (x) ,	если существует такая -окрестность точки									х0 ,
что для	всех x x0 из		этой	окрестности		выполняется			неравенство
f (x) f (x0 ) .
Аналогично		определяется точка минимума функции:								х0	–
точка минимума функции, если f (x) f (x0 ) .
Определение		3.	Значение		функции		в точке		максимума

(минимума) называется максимумом (минимумом) функции Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции

Теорема 3 (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция y f (x) имеет экстремум в точке х0 ,

то ее производная в этой точке равна нулю f (x0 ) 0 .

Теорема 4 (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция y f (x) дифференцируема в некоторой -

окрестности критической точки х0 и при переходе через нее (слева направо) производная f (x) меняет знак с (+) на (–), то х0 есть точка максимума; с (–) на (+), то х0 – точка минимума.

Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции: f (x) ln(1 x2 ) .

157

Решение. Находим производную:

		f (x)		2x
					.
				1 x2
При x 0 имеем		f (x) 0	, при x 0			имеем f (x) 0 .
Итак,	в интервале (; 0)		функция f (x) ln(1 x2 ) убывает, а
в интервале	(0; )	возрастает, при этом точка					x 0 является
точкой минимума заданной функции.
Определение 4.		Внутренняя точка				x0 промежутка (a; b)
называется стационарной точкой функции						f (x) , если в этой точке
f (x) 0 .

Определение 5. Стационарные точки и точки, в которых производная не существует, называются критическими точками

функции.

Первое правило исследования функции на экстремум.

Чтобы исследовать функцию f (x) на экстремум, надо:

1) найти стационарные точки заданной функции, для этого следует решить уравнение f (x) 0 , из корней этого уравнения выбрать только действительные и те, которые являются внутренними точками существования функции;

2) найти точки, в которых производная f (x) не существует

(функция f (x) в этих точках существует). Если критических точек функция f (x) не имеет, то она не имеет и экстремальных точек.

158

Такая функция не имеет экстремума. Если критические точки есть, то их надо исследовать дальше, для чего:

3) в каждой критической точке проверить изменение знака производной первого порядка.

Если f (x) при переходе через критическую точку (слева

направо) изменяет знак с (+) на (–), то эта точка является точкой максимума.

Если f (x) изменяет знак с (–) на (+), то эта критическая

точка является точкой минимума.

Если при переходе через критическую точку знак производной не изменяется, то рассматриваемая критическая точка не является экстремальной точкой заданной функции.

Второе правило исследования функции на экстремум.

Чтобы исследовать функцию f (x) на экстремум, надо:

1)найти стационарные точки заданной функции;

2)найти производную второго порядка в стационарной точке.


Если в стационарной		точке x0 f (x0 ) 0 , то		x0	является
экстремальной	точкой	для функции	f (x) , а именно,		точкой
минимума, если	f (x0 ) 0 , и точкой максимума, если			f (x0 ) 0 .
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию				f (x) x3 x2 .
Решение. Находим производную:			f (x) 3x2 2x . Приравни-
ваем производную f (x) к нулю и решаем уравнение:

3x2 2x 0,	x(3x 2) 0,	x 0,	x			2	.
				2
		1			3

159

Получаем стационарные точки:					x 0,				x			2		.
Получаем стационарные точки:					x 0,				x	2				.
					1					2	3
											3
Находим производную второго порядка:										f (x) 6x 2.
Подставляем в выражение для					f (x)		значения x1								и x2 :
			2			2
		2 0,			6		2 2 0.

	f (0)		f
				3		3
Итак,	x 0 является точкой				максимума, x										2	— точкой
Итак,	x 0 является точкой				максимума, x								2			— точкой
	1												2		3
															3
минимума	функции	y x3	x2 ,	причем				максимум							и	минимум
					2			4
соответственно равняют f (0) 0,				f					.
соответственно равняют f (0) 0,				f					.
					3			27

3.3.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значений

функции на отрезке

Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная функция f (x) ,

достигающая на данном отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Это может произойти как внутри отрезка, так и на его кон-

цах. Отсюда вытекает способ нахождения точек, в которых функция приобретает наибольшее и наименьшее значение на отрезке [a; b] :

1)найти критические точки функции;

2)вычислить значение функции в критических точках,

которые принадлежат отрезку, и на концах отрезка;

3) наибольшее (наименьшее) значение среди образованного множества и будет наибольшим (наименьшим) значением функции,

заданной на отрезке [a; b] .

160

Пример

Найти

наибольшее

наименьшее

значение

функции f (x)

12x 1 на отрезке

Решение. Находим стационарные точки. Для этого найдем

производную:

f (x) 6x2 6x 12.

Приравнивая эту производную к нулю и решая уравнение

6x2 6x 12 0 ,

получаем стационарные

точки:

x1 1,

2 .

Точек,

в которых

функция не существует, нет.

Вычисляем значение функции в точках

x1 , x2 , а также на

концах отрезка,

т.е. в точках x3 2 , x4

f ( 1) 8;

f (2) 19;

f ( 2) 3;

Итак, наибольшее

значение

f ( 1) 8 ,

наименьшее есть

f (2) 19 .

3.3.3 Интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки перегиба

График функции	y f (x)	может	быть выпуклым или
вогнутым.
Определение 1.	График	функции	y f (x) называется

выпуклым на интервале (a; b) , если он расположен ниже ее любой

касательной на этом интервале.

161

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3216 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.2019169.6 Кб5Статистика. Конспект. Общий.docx
#
06.02.2016183.81 Кб26Стратегический менеджмент.doc
#
06.02.2016893.44 Кб40Стратегическое управление учебник.doc
#
06.02.2016878.08 Кб8Стройников лабы.doc
#
06.02.2016139.78 Кб4Суд Украины.doc
#
06.02.20163.35 Mб1822Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики.Pdf
#
06.02.20161.35 Mб11СУП.doc
#
06.02.2016326.14 Кб7ТГП Методические указания по курсу.doc
#
06.02.20162 Mб30Текст пособия Введение в глобалистику.doc
#
06.02.2016114.69 Кб6Текст Шекспириады (полная версия).doc
#
07.11.2018177.15 Кб13Тема 1 ІД нов..doc