Metod_Algebra

Укладачі:

Н.В. Бондаренко, канд. фіз.-мат. наук, асистент

О.В. Забарило, канд. фіз.-мат. наук, доцент

А.А. Кириченко, канд. фіз.-мат. наук, доцент

М.С. Пастухова, старший викладач

Рецензент:

Я.М. Якимів, канд. фіз.-мат. наук, доцент

Відповідальний за випуск

В.К. Чибіряков, доктор техн. наук, професор

Затверджено на засіданні

кафедри вищої математики, протокол № 11

від 18 червня 2008 року.

Варіант 1

z3 3i 3 = 0.

1.

Знайти корені рівняння

2

Обчислити

(

2.

6i 2)18

6

.

( 4i)19

2i

1

2

1

2

3

3.

Обчислити визначник четвертого порядку

1

0

3

1

.

3

1

4

1

4

4

2

3

2

5

2

3

6

1

3

1

2

4

4. Знайти ранг матриці

1

2

3

5

2

.

0

1

4

7

2

2

1

3

1

3

3

5. Знайти невідому матрицю X з рівняння

5

2

7

X =

3

2

5

.

1 1

1

4

2

3

6. Перевірити сумісність системи лінійних рівнянь і у випадку її сумісності

розв'язати: а) методом Гауса, б) по правилу Крамера, в) матричним методом

3x1 5x2 x3 = 3;

4x3 = 13;

2x1 x2

2x

3x

2

x = 11.

1

3

1) ,

= ( 1; 3; 2)

8. Довести,

що вектори

a1 = (1; 2;

a2

= (2; 0; 3) , a3

утворюють базис

векторного

простору

R3,

і

знайти координати вектора

b = (3,12, 2) в цьому базисі.

9. Знайти характеристичний многочлен, власні значення і власні вектори

лінійного оператора, заданого матрицею

1

2

5

A =

0

1

0

.

1

7

3

10. З'ясуйте,

чи буде підпростором простору многочленів R[x]

множина U

1

2.

Обчислити (2 3 2i)30 (2 2i) 38

.

3i

2

2

1

3

2

3.

Обчислити визначник четвертого порядку

1

4

1

2

.

3

1

2

2

1

3

0

5

3

2

1

3

1

1

1

0

1

2

4. Знайти ранг матриці

2

1

1

2

3

.

1

1

0

1

2

1

3

0

5

4

5. Знайти невідому матрицю X з рівняння

1

2

1

X

=

2

7

.

3

8

2

3

1

6. Перевірити сумісність системи лінійних рівнянь і у випадку її сумісності

розв'язати: а) методом Гауса, б) по правилу Крамера, в) матричним методом

2x1 4x2 x3 = 3;

2x2 3x3 = 10;

5x1

3x x

2

4x = 7.

1

3

7. Знайти загальний розв'язок і фундаментальну систему розв'язків системи

рівнянь

x1 3x2 4x3 x4 = 0;

3x3 4x4 = 0;

3x1 2x2

2x 5x

2

x 3x

4

= 0.

1

3

8. Довести,

що вектори

a1 = (1; 3; 1) , a2 = ( 1; 2; 3) ,

a3 = (2; 0; 4)

утворюють базис

векторного

простору

R3,

і знайти координати вектора

b = (6;1; 4) в цьому базисі.

9. Знайти характеристичний многочлен, власні значення і власні вектори

лінійного оператора, заданого матрицею

2

0

3

2

2

A =

3

.

1

2

4

10. З'ясуйте,

чи буде підпростором простору Rn всіх векторів розмірності n

Варіант 3

Знайти корені рівняння 8

8i z3 = 0 .

1.

3

2.

Обчислити (

3 3i )84

1 2i

.

2 2i

1 2i

2

1

0

1

3.

Обчислити визначник четвертого порядку

1

3

2

1

.

2

1

6

0

3

0

2

5

5

1

3

2

1

1

2

1

1

7

4.

Знайти ранг матриці

4

3

4

3

6

.

3

5

1

4

13

5. Знайти невідому матрицю X з рівняння

3

2

7

5

1

3

X

=

.

6

5

3

2

2

0

2

0

4

A =

7

5

1 .

3

0

1

2

1

2

3

3. Обчислити визначник четвертого порядку

2

3

0

1

.

1

7

2

0

4

0

3

2

1

5

2

3

2

3

6

1

2

3

4. Знайти ранг матриці

2

1

3

5

1

.

1

4

5

8

1

3

1

7

1

3

1

5. Знайти невідому матрицю X з рівняння

3

1

6

X =

2

1

1

.

1

0

3

1 0

2

= (1;

8. Довести,

що вектори

a1 = (2;1;3)

,

a2

4; 2), a3 = (3; 2; 5)

утворюють

базис

векторного

простору

R3,

і

знайти

координати вектора

7) в цьому базисі.

b = ( 4; 4;

9. Знайти характеристичний многочлен, власні значення і власні вектори

лінійного оператора, заданого матрицею

0

6

15

1

3

A =

1

.

1

2

4

x1 3x2 x3 4x4 = 0;

4x3 2x4 = 0;

3x1 2x2

2x x

2

5x 6x

4

= 0.

1

3

= (1; 4; 1) ,

8. Довести,

що вектори

a1

a2 = (2; 1; 3), a3 = (3; 6; 5)

утворюють базис

векторного

простору

R3,

і

знайти

координати вектора

b = ( 4; 7;1) в цьому базисі.

9. Знайти характеристичний многочлен, власні значення і власні вектори

лінійного оператора, заданого матрицею

3

0

2

2

A =

1

1

.

0

4

5

10. З'ясуйте,

чи буде підпростором простору

M n (R)

всіх дійсних матриць

Варіант 6

1.

Знайти корені рівняння z3 5 5i = 0 .

2.

Обчислити

( i)35

2 i

.

2(

3i)36

2

i

3

3

1

2

2

3.

Обчислити визначник четвертого порядку

1

4

0

1

.

3

6

2

5

2

0

3

8

1

3

2

1

4

3

5

4

0

2

4.

Знайти ранг матриці

1

11

8

2

10

.

2

8

6

1

6

5.

Знайти невідому матрицю

X з рівняння

7

4

X

1

2

3 1

=

.

2

1

4

7

1 4

8. Довести, що вектори

a1 = ( 3; 3;1) ,

a2

= ( 8; 9; 3) , a3 = (1; 1; 0)

утворюють

базис

векторного

простору

R3,

і

знайти

координати

вектора

1; 2) в цьому базисі.

b = (1;

9. Знайти характеристичний многочлен, власні значення і власні вектори

лінійного оператора, заданого матрицею

2

1

2

3

A = 0

0

.

4

1

10

10. З'ясуйте, чи буде підпростором

простору R[x]

всіх многочленів над

полем

R

множина

U всіх

многочленів

f (x) ,

які задовольняють

рівність

f (1) f

(2) f (3) = 0 .