bmp

282

Рис.14.18

Вантажні реакції в локальній системі координат:

Вантажні реакції у глобальній системі координат можна визначити по формулам (14.15) або шляхом порівняння реакцій у локальній та глобальній системах координат. Так, з порівняння вантажних реакцій в локальній (рис.14.18,б) і в глобальній (рис.14.18,в) системах координат доходимо висновку:

Вантажні реакції, орієнтовані по осях глобальної системи координат, з урахуванням знаків показано на рис.14.18,г:

Стержень 1-4 (рис.14.19,а). Скінченний елемент має жорсткий вузол на початку і шарнірний на кінці і тому відноситься до другого типу. Навантаження в локальній системі координат:

285

Порівнюючи сили на рис.14.17 і на рис.14.21, можемо записати:

Q1 3,6 4,5 8,1;

Q3 2,7 1,8 0,9;

Q10 2,7;

Q13 6;

Q14 4;

Q16 6;

Q17 4.

Усі інші елементи вектора Q дорівнюють нулю. Таким чином

Додаючи вектори F і Q одержуємо, згідно з формулою (14.3), вектор вузлових навантажень дискретної моделі:

Матриця жорсткості дискретної моделі

Дискретна модель рами, що розраховується, має 17 ступенів вільності. Тому матриця жорсткості дискретної моделі є квадратною матрицею17x17:

Елементи матриці – це величини вузлових реакцій, що зумовлюються одиничними вузловими переміщеннями. Для обчислення коефіцієнтів матриці жорсткості необхідно почергово надавати одиничні переміщення вузлам дискретної моделі і знаходити сили, які при цьому передаватимуться на вузли.

Обчислимо, наприклад, елементи 14 стовпця матриці жорсткості. З цією метою надамо дис-

кретній моделі примусове вузлове переміщення 14 1, вважаючи, що всі інші переміщення вузлів дорівнюють нулю. Тобто надамо вузлу 5 примусовий одиничний поворот, вважаючи, що всі інші вузли не переміщуються. На вузли дискретної моделі з боку стержнів передаватимуться кінцеві реакції, зумовлені деформаціями стержнів (рис.14.22).

286

Рис.14.22

Унаслідок переміщення вузла 5 деформуються стержні 4-5, 5-6, 3-5, які до нього приєднуються. Вони виділені на рисунку товстими лініями. Тільки в цих стержнях виникають напруження і кінцеві реакції, що передаються на вузли дискретної моделі і зумовлюють появу вузлових реакцій. Тому можна відразу зазначити: якщо до вузла приєднуються тільки недеформовані стержні, то вузлових реакцій в даному вузлі не виникає. На цій підставі можна вважати, що K1,14 K2,14 K3,14 K4,14 K5,14 K6,14 0. Для обчислення реакцій, які діють на вузли з боку де-

формованих стержнів розглянемо окремо відповідний фрагмент у збільшеному масштабі

(рис.14.23).

Рис.14.23

Разом із поворотом 14 1 вузла 5 повертаються кінці стержнів 4-5, 3-5 і 5-6. Але якщо для стержня 5-6 це поворот його початку і тому на схемі він позначений 3 1, то для стержнів 4-5 і 3- 5 – це повороти кінців, тобто 6 1. Тому на стержні 5-6 кінцеві реакції другим мають індекс 3

( k1,3 , k2,3 , k3,3 , k4,3 , k5,3 , k6,3 ), а на стержнях 4-5 і 3-5 – індекс 6 (k16 , k26 , k36 , k46 , k56 , k66 ). Вели-

чини кінцевих реакцій визначаються матрицями жорсткості скінченних елементів відповідних типів. Так, стержні 3-5 і 5-6 є елементами першого, а стержень 4-5 – елементом другого типу. Дані для обчислень вибираємо з табл.14.4.

288

Обчислення внутрішніх зусиль

Визначення вузлових переміщень дискретної моделі дає змогу обчислити сумарні кінцеві реакції в кожному скінченному елементі. Обчислимо, наприклад, сумарні кінцеві реакції в стержні 5-

6 (рис.14.14).

Побудуємо вектор кінцевих переміщень у глобальній системі координат для стержня 5-6:

Скомпонуємо вектор вантажних реакцій стержня 5-6 у локальній системі координат:

Складемо матрицю h5 6 , на підставі співвідношень (14.25), як для стержня з першим типом граничних умов. При обчисленнях дані вибираємо з таблиці фізико-геометричних характеристик скінченних елементів (Табл.14.1). В результаті маємо:

Виконуємо обчислення за формулою (14.24):

289

Знайдені сумарні кінцеві реакції прикладаються до скінченного елемента (рис.14.24).

Рис.14.24

Обчислимо внутрішні зусилля в довільному перерізі стержня:

M x лів M x 4,162 x 2,347 3 2x2 ;

Qx y 4,162 3 x cos ;

лів

Nx x 5,165 3 x sin .

Таким чином, на початку стержня (x x 0 )

В середині стержня (x 2,5; x 2 )

290

Mc 4,162 2,5 2,347 3 22 2,058; 2

Qc 4,162 3 2 0,8 0,638; Nc 5,165 3 2 0,6 8,765.

На кінці стержня (x 5; x 4 )

Аналогічні обчислення виконуються для всіх інших стержнів. Результати розрахунків запишемо до табл.14.2.

Таблиця 14.2

За результатами табл.14.2 на рис.14.25 побудовано епюри внутрішніх зусиль.

291

Рис.14.25

14.3. Приклад розв’язування просторової рами методом скінченних елементів

Дано: розрахункова модель просторової рами (рис.14.26), всі стержні якої мають жорсткістні параметри: ЕА 300 , EI y EIz GIкр 3.

Необхідно: Визначити внутрішні зусилля в стержнях рами.

Вузли рами мають дванадцять можливих переміщень (рис.14.28)

1 2 ... 12 Т .