Модуль 1 «Механіка»

1.1. Короткий теоретичний довідник до модуля 1.

Кінематичне рівняння поступального руху матеріальної точки визначається як:

,

де – радіус-вектор матеріальної точки,У декартовій системі координат: .

Швидкість є похідною від радіус-вектора рухомої точки за часом: і завжди орієнтована по дотичній до траєкторії. Вектор швидкості в проекціях наосі координат осі має вигляд: . Абсолютне значення (модуль) швидкості визначається як:.

Прискорення точки визначається за формулою:. Повне прискорення при криволінійному русі може бути розкладене на дві складові:, де– тангенціальне прискорення;– нормальне (доцентрове) прискорення. Модуль повного прискорення визначається за формулою:.

Кінематичне рівняння руху матеріальної точки по колу (обертального руху абсолютно твердого тіла (АТТ)): , де– кут повороту тіла навколо осі в момент часу t. Вектори кутової швидкості та кутового прискорення визначаються відповідно як: . Кутові та лінійні характеристиками обертання пов’язані співвідношеннями:,,.

Закон динаміки поступального руху матеріальної точки (ІІ закон Ньютона) має вигляд: , де– імпульс (кількість руху) матеріальної точки масоюm, – векторна сума сил, що діють на матеріальну точку. Для випадків, при яких маса, можна записати:, де– прискорення.

Сила пружності, що виникає під час деформації тіла вздовж осі ох, визначається за законом Гука: , де k – коефіцієнт пружності (у випадку з пружиною – жорсткість); х – абсолютна деформація. Гравітаційна сила F, яка діє між двома матеріальними точками, визначається законом всесвітнього тяжіння: , де γ = 6,67∙10^–11 Н∙м²/кг² – гравітаційна постійна, m₁, m₂ – маси взаємодіючих тіл, r – відстань між ними. Сила тертя ковзання ; – коефіцієнт тертя; N – сила нормального тиску.

За законом збереження імпульсу сумарний імпульс замкненої системи, що складається з n матеріальних точок, залишається незмінним: . Радіус-вектор центра мас системи матеріальних точок визначається як, деm – сума мас усіх точок (маса системи); m_i i – маса і радіус-векторі-ї матеріальної точки системи.

Рух тіл змінної маси визначається рівнянням Мещерського: , де – реактивна сила,– швидкість витоку газів. Швидкість ракети в кінці стадії розгону визначається за формулою Ціолковського: , де υ – кінцева швидкість ракети, m₀/m – відношення мас ракети на старті та наприкінці розгону.

Закон динаміки обертального руху АТТ: , де– момент сили відносно осі, – момент імпульсу тіла, – момент інерції тіла відносно осі, m_i – елементарні маса, – її відстань від осі обертання. У випадку закон динаміки обертального руху має вигляд: , Закон збереження моменту імпульсу: справедливий для замкнених систем.

Момент інерції тіл різної форми: стрижня довжиною l та масою m відносно осі, що проходить через центр мас перпендикулярно до стрижня: ; диска радіусомR відносно осі, що проходить через центр диска і перпендикулярної до його площини: ; кулі радіусомR відносно осі, що проходить через його центр: .

Умова рівноваги твердого тіла: векторна сума всіх зовнішніх сил, що діють на тіло, а також усіх моментів цих сил, рівна нулеві:

Зміна енергії тіла визначається роботою сили , де– переміщення тіла. Потужність – робота, що виконується за одиницю часу:.

За законом збереження механічної енергії в замкнених консервативних системах тіл повна механічна енергія зберігається з часом: .

Кінетична енергія поступального руху тіла: . Кінетична енергія обертального руху тіла:. Потенціальна енергія пружно деформованої пружини;k – жорсткість пружини; х – абсолютна деформація. Потенціальна енергія гравітаційної взаємодії двох матеріальних точок: .

Течія ідеальної рідини описується рівнянням Бернуллі: , де – густина рідини; υ – швидкість рідини в певному перерізі труби; h – висота, на якій розміщено переріз; р – статичний тиск рідини для обраного перерізу. Рівняння нерозривності течії має вигляд: , деS – площа перерізу в будь-якому місці труби, – швидкість руху рідини в цьому перерізі.

За формулою Пуазейля об’єм в’язкої рідини, що протікає трубкою: , деR – радіус трубки; р – різниця тисків на кінцях трубки; l – її довжина;  – коефіцієнт динамічної в’язкості, t – час. Сила в’язкого тертя, що діє на сферичне тіло в потоці рідини (газу) визначається формулою Стокса: , деR – радіус кульки; – її швидкість.

Лоренцове скорочення довжини тіла визначається як: ,l₀ – довжина тіла в нерухомій (лабораторній) системі відліку, β=υ/с; с = 3∙10⁸ м/с – швидкість світла у вакуумі. Інтервал часу між подіями, виміряний у рухомій системі відліку визначається як: ,_о –час, виміряний у нерухомій (лабораторній) системі відліку. Релятивістський закон додавання швидкостей має вигляд: ,та– відповідно швидкість тіла відносно нерухомої та рухомої системи відліку;u – швидкість рухомої системи відліку відносно нерухомої.

Релятивістський імпульс: , деm₀ – маса спокою тіла. Релятивістська маса тіла: .

Повна енергія тіла в релятивістській механіці: .Енергія спокою тіла: . Кінетична енергія тіла:. Зв’язок між повною енергієюW та імпульсом р в релятивістській механіці: .