information_items_property_1470

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины

«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ»

для студентов специальностей 010503 «Математическое обеспечение

и администрирование информационных систем», 080116 «Математические методы в экономике», 080801 «Прикладная информатика в экономике», 220601 «Управление инновациями»

Раздел 1

(первый семестр)

Москва

2008

Рабочая программа составлена на основе государственного образо вательного стандарта высшего профессионального образования по спе циальностям 010503 «Математическое обеспечение и администрирова ние информационных систем», утвержденного 10.03.2000 г., 080116 «Ма тематические методы в экономике», утвержденного 14.04.2000 г., 080801 «Прикладная информатика в экономике», утвержденного 14.03.2000 г., 220601 «Управление инновациями», утвержденного 20.12.2005 г.

С о с т а в и т е л и:

заведующий кафедрой дискретной математики и теоретической информатики,

кандидат физико математических наук, доцент

В. А. Кутыркин,

декан факультета бизнес администрирования, заведующий кафедрой математической экономики и эконометрики,

кандидат экономических наук, доцент

В.И. Соловьев

От в е т с т в е н н ы й р е д а к т о р

декан факультета бизнес администрирования, заведующий кафедрой математической экономики и эконометрики,

кандидат экономических наук, доцент

В.И. Соловьев

Ра с с м о т р е н а и о д о б р е н а

на заседании кафедры дискретной математики

итеоретической информатики 1 сентября 2008 г. (протокол № 2)

Со г л а с о в а н а

свыпускающими кафедрами специальностей 010503 «Математическое обеспечение

иадминистрирование информационных систем», 080116 «Математические методы в экономике»,

080801 «Прикладная информатика в экономике»,

220601 «Управление инновациями»

ОРГАНИЗАЦИОННО&МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Программа учебной дисциплины «Математический анализ» состав лена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальностям 080801 «Прикладная информатика в экономике», 010503 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», 220601 «Управление инновациями».

Целью преподавания учебной дисциплины «Математический ана лиз» является обучение студентов фундаментальным методам исследо вания переменных величин посредством анализа бесконечно малых.

При преподавании учебной дисциплины «Математический анализ» ставятся следующие задачи:

•ознакомить студентов с фундаментальными понятиями и мето дами дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной и нескольких переменных;

•дать понятие о задачах и методах теории поля и теории функ ции комплексной переменной;

•развить у студентов аналитическое мышление и общую матема тическую культуру;

•привить студентам умение самостоятельно изучать учебную и научную литературу в области математики.

Знания, умения и навыки, полученные студентами в результате ус воения материала дисциплины, могут быть использованы ими во всех видах деятельности в соответствии с Государственным образователь ным стандартом высшего профессионального образования.

Дисциплина «Математический анализ» изучается с первого по чет вертый семестр, в конце каждого семестра студент должен сдать зачет и экзамен по данной дисциплине.

Объем аудиторной нагрузки, необходимой для усвоения материала дисциплины, составляет во втором семестре 60 ч.

Методика преподавания дисциплины строится на сочетании лекций (32 ч.) с практическими занятиями (32 ч.).

Материал дисциплины является опорным для изучения всех общих математических, общепрофессиональных и специальных дисциплин, в особенности, для изучения дисциплин «Дифференциальные и разност ные уравнения», «Численные методы».

3

4

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

5

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1.Пределы. Требуется вычислить предел, заданный для каждого вари анта в прил. 1.

2.Производные. Требуется вычислить производные функций, задан ных для каждого варианта в прил. 2.

3.Применение производной к исследованию функций. Требуется ис следовать функцию и построить ее график (конкретная функция для каждого варианта дана в прил. 3).

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1.Метод математической индукции, формулы для частичных сумм арифметической и геометрической прогрессий, формула бинома Ньютона.

2.Бесконечно малые и ограниченные последовательности рациональ ных чисел и их арифметические свойства, неравенства Бернулли и сумма геометрической прогрессии.

3.Понятие сходимости для последовательности рациональных чисел, арифметические свойства сходящихся последовательностей, лемма о двух «милиционерах».

4.Арифметика действительных чисел (поле действительных чисел), теоретико множественные операции с подмножествами действительных чи сел, ограниченные (сверху [снизу]) подмножества.

5.Теорема о точной нижней (верхней) грани ограниченного снизу мно жества действительных чисел.

6.Числовая прямая и расширенная числовая прямая, обобщение поня тий точных верхних и нижних граней.

7.Прямые произведения подмножеств числовой прямой, числовая и расширенная числовая многомерные плоскости, числовые пространства и множества числовых точек в них.

8.Внутренность, внешность и границы непустого множества в число вом пространстве, лемма о граничной точке.

9.Понятия открытых и замкнутых множеств числового пространства, предельные точки (точки прикосновения) множества числового пространства

ипонятие замыкания множества.

10.Теорема о свойствах пересечения и объединения открытых (замкну тых) множеств числового пространства, открытость числовой окрестности чи слового пространства.

11.Понятия связности и несвязности непустого множества числового пространства, формулировка теоремы о связных множествах числовой пря мой.

12.Общие понятия функции и отображения, классификация отображе ний (инъекции, сюръекции и биекции) и функций (взаимнооднозначные и сюръективные функции).

13.Понятие числовой функции (отображения) и её графика, способы за дания числовых функций (в том числе, – многомерных), общая компонента по следовательности.

7

14.Понятия предельной и изолированной точек числового пространства, понятия сходимости и предела (Коши) числовой функции, понятия сходимо сти и предела последовательности в числовом пространстве; локальная огра ниченность сходящейся в точке числовой функции.

15.Лемма Больцано о сходимости монотонной и ограниченной последо вательности на числовой прямой, 2 й замечательный предел.

16.Лемма о вложенных отрезках числовой прямой и её следствие для многомерной числовой плоскости.

17.Понятие подпоследовательности последовательности; лемма о нали чии предела у подпоследовательности последовательности, имеющей предел; арифметика пределов сходящихся числовых последовательностей и функций.

18.Лемма Больцано — Вейерштрасса и её следствия для многомерных числовых плоскостей.

19.Понятия эквивалентности для бесконечно малых и бесконечно больших числовых последовательностей и функций, использование символов о малое и О большое, 1 й замечательный предел, признаки Коши (радикаль ный) и Даламбера бесконечной малости последовательности.

20.Лемма о наличии последовательности, стремящейся к предельной точке числового пространства.

21.Понятие предела числовой функции по Гейне и его равносильность понятию предела по Коши.

22.Предельные точки многомерных числовых функций и числовых по следовательностей, понятия верхнего и нижнего пределов одномерной число вой последовательности (функции в точке), лемма об их существовании.

23.Фундаментальные последовательности в числовом пространстве, критерий Коши сходимости числовой последовательности и его следствия для многомерных плоскостей.

24.Понятия непрерывности числовой функции в точке и на множестве, формулировка теоремы о непрерывности элементарных функций на про странствах их определения, классификация точек разрыва одномерной чи словой функции одной действительной переменной.

25.Теорема о пределе сложной числовой функции.

26.Понятие компактности непустого множества в числовом пространст ве, критерий компактности множества многомерной плоскости, числовые ком пакты.

27.Понятие непрерывности числового отображения, критерий его не прерывности.

28.Теорема о связности образа связного пространства при непрерывном числовом отображении и её следствия для отрезка.

29.Теорема о компактности образа числового компакта при непрерыв ном числовом отображении и теорема Вейерштрасса о достижении на число вом компакте (отрезке) своих минимальных и максимальных (промежуточ ных) значений для непрерывной одномерной числовой функции. Непрерыв ность обратного отображения для непрерывной и строго монотонной функции на отрезке.

8

30.Понятие равномерной непрерывности числовой функции на множе стве числового пространства, теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывного числового отображения на числовом компакте.

31.Понятие кратной дифференцируемости в точке (справа [слева]) од номерной числовой функции одной действительной переменной, её диффе ренциалы, кратная дифференцируемость функции на открытом множестве (локальная дифференцируемость), понятие кратной гладкости функции на промежутках числовой прямой.

32.Приращение одномерной числовой функции в точке числовой пря мой для заданного приращения аргумента, приращение и дифференциал дифференцируемой в точке функции, непрерывность дифференцируемой в точке функции.

33.Единственность локально дифференциального вида кратно диффе ренцируемой в точке функции и представление этого вида функции через её дифференциалы.

34.Понятие производной функции в точке, равносильность дифферен цируемости и наличия производной функции в точке, высшие производные функции в точке и на множестве, пример дважды дифференцируемой в нуле функции, не имеющей в нуле второй производной.

35.Геометрическая и физическая интерпретации (второй) производной функции в точке, уравнение касательной к графику функции в точке диффе ренцируемости функции.

36.Производные суммы, произведения и частного дифференцируемых функций, производная суперпозиции дифференцируемых функций, произ водная для обратной к дифференцируемой функции.

37.Теоремы Ферма и Ролля.

38.Теоремы Лагранжа и Коши.

39.Правила Лопиталя.

40.Теорема Пеано о формуле Тейлора.

41.Вид остатков в формах Лагранжа и Коши для формулы Тейлора, формулы Маклорена для основных элементарных функций.

42.Понятие экстремума функции, стационарные и критические точки функции, необходимое условие экстремума функции.

43.Лемма о локальном возрастании (убывании) локально дифференци руемой функции и 1 ое достаточное условие её экстремума.

44.2 ое достаточное условие экстремума функции.

45.Понятия локальной выпуклости вниз (вверх) графика функции и его точки перегиба, лемма о достаточном условии локальной выпуклости вниз (вверх) для графика дважды локально гладкой функции и её следствия о на личии точки перегиба.

46.Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.

9

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Ос н о в н а я

1.Ильин В. А, Позняк Э. Г. Основы математического анализа: Учебник для вузов: в 2 ч.– М.: Физматлит, 2001.

2.Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной пере менной: Учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2001.

3.Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб. пособие для вузов. М: Астрель, 2002.

4.Соловьев В.И. Математика в экономической деятельности: Учебное пособие для вузов. – М.: Дрофа, 2008.

До п о л н и т е л ь н а я

5.Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г. П., Ляшко И. И. Справочное пособие по высшей математике (Антидемидович): Учебное пособие для вузов: в 5 т. – М.: Едиториал УРСС, 2004.

6.Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Медведев Г. Н., Шишкин А. А.

Математический анализ в вопросах и задачах: Учебное пособие для ву зов. – М. Физматлит, 2002.

7.Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и уп ражнения по математическому анализу: Учебное пособие для вузов: в 2

хкн. – М.: Высшая школа, 2002.

8.Гельбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. – Волго град: Платон, 1997.

9.Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ: Учебник для вузов: в 2 х ч. – М.: Издательство Московского университета, 1985 — 1987.

10.Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа: Учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2004.

11.Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: Учебник для вузов: в 3 х т. М.: Дрофа, 2004.

12.Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций ком плексного переменного: Учебное пособие для вузов. – СПб.: Лань, 2002.

13.Никольский С. М. Курс математического анализа: Учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2001.

14.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учебник для вузов: в 3 х т. – М.: Физматлит, 2002.

10