Вопросы к экзамену

1. Понятие неопределенного интеграла, интеграл от линейной комбинации функций.

2. Правило интегрирования по частям и основные типы интегралов, вычисляемых с помощью этого правила.

3. Правила замены переменной и подстановки в интеграле, универсальная тригонометрическая подстановка.

4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

5. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших и её интегрирование.

6. Нижние и верхние суммы Дарбу для ограниченной на отрезке функции по подразделению этого отрезка, их основные свойства.

7. Нижние и верхние интегральные суммы Дарбу. Нижний и верхний интегралы Дарбу от ограниченной на отрезке функции, её интегрируемость по Риману.

8. Интегрируемость по Риману непрерывной на отрезке функции и ограниченной функции, имеющей на отрезке конечное число точек разрыва.

9. Аддитивность и линейность определенного интеграла, теоремы о среднем.

10. Формула Ньютона–Лейбница и вычисление площади между графиками двух функций на отрезке.

11. Дифференцирование интеграла по верхнему и нижнему пределам.

12. Несобственные интегралы 1-го и 2-го родов.

13. Исследование сходимости несобственных интегралов с помощью признаков сравнения.

14. Метрические пространства и их подпространства, сходимость последовательностей, непрерывность функций и отображений, понятие гомеоморфизма.

15. Естественная топология метрического пространства, критерий эквивалентности метрик.

16. Нормированное пространство, его индуцированная метрика и естественная топология, понятие эквивалентности норм, примеры эквивалентных норм.

17. Стандартные чебышёвские пространства векторов и матриц с согласованными нормами, основное свойство согласованной нормы.

18. Стандартное евклидово пространство, неравенство Коши–Буняковского и угол между векторами.

19. Аффинно-числовые плоскости.

20. Векторные и многомерные числовые функции в аффинно-числовых пространствах, их сходимость и непрерывность в точках, на областях и многомерных брусах.

21. Бесконечно малые векторные (многомерные) функции нескольких переменных и арифметические свойства сходящихся в точке векторных функций.

22. Понятие кратной дифференцируемости в точке числовой функции нескольких переменных, её дифференциалы.

23. Частные производные первого порядка числовой функции, их наличие у дифференцируемой в точке функции, формулировка достаточных условий дифференцируемости; производная дифференцируемой в точке числовой функции и уравнение касательной плоскости к её графику в этой точке.

24. Частные производные числовой функции высших порядков, формулировка теоремы о смешанных производных.

25. Вторая производная числовой функции в нескольких переменных и аналитический вид формулы Тейлора 2-го порядка.

26. Дифференцируемость векторных и многомерных функций нескольких переменных, производная векторной функции и матрица Якоби её многомерной функции, гладкость функции на открытом множестве и многомерном брусе.

27. Арифметические свойства производных дифференцируемых векторных функций нескольких переменных и дифференцирование сложной функции (суперпозиции дифференцируемых функций).

28. Градиент числовой функции в точке (на открытом множестве) и производная функции в этой точке по заданному направлению.

29. Основное свойство ненулевого градиента числовой функции в точке; уравнение касательной плоскости в точке гладкой поверхности (линии) уровня.

30. Неявные функции. Теорема существования и дифференцируемости неявной функции.

31. Вычисление производных неявных функций. Теорема об обратной функции.

32. Экстремумы локально непрерывной в точке числовой функции нескольких переменных, необходимое условие экстремума дифференцируемой в точке функции.

33. Достаточное условие экстремума дважды дифференцируемой в точке числовой функции.

34. Метод неопределенных множителей Лагранжа для вычисления условного экстремума гладкой числовой функции.

35. Степенной ряд и радиус его сходимости.

36. Кратные интегралы, вычисление их с помощью повторных интегралов, смена системы координат.