3.6. Розрахунок на міцність при згинанні

При поперечному згинанні балки її матеріал перебуває в плоскому напруженому стані. При цьому умова міцності може бути записана для трьох небезпечних точок поперечного перерізу балки:

а) точка, де нормальне напруження досягає найбільшого значення;

б) точка, де дотичне напруження досягає найбільшого значення;

в) точка, де σ і τ хоч і не набувають найбільших значень, але в своїй сукупності створюють найвигіднішу комбінацію, тобто найбільше еквівалентне напруження за прийнятою для розрахунку теорією міцності.

Якщо орієнтуватися на першу небезпечну точку, умову міцності можна записати у вигляді

. (3.12)

Друга небезпечна точка лежить на нейтральній лінії, умова міцності виглядає так: . (3.13)

В третій небезпечній точці завжди буде плоский напружений стан. Тому застосовуючи третю теорію міцності, будемо мати таку формулу для еквівалентних напружень:

. (3.14)

Ця теорія рекомендується для розрахунку балок з пластичних матеріалів.

На практиці здебільш небезпечною є крайня точка поперечного перерізу балки, де М = М_max,, тому перевірний розрахунок балок виконується в такій послідовності:

1. знаходять небезпечний переріз балки, тобто той переріз, в якому діє найбільший за абсолютним значенням згинальний момент;

2. за таблицею чи розрахунками визначають момент опору W поперечного перерізу відносно нейтральної лінії;

3. визначають максимальні напруження та зрівнюють їх з допустимими, застосовуючи тільки одну умову міцності по формулі (3.12), яку називають основною.

За цією схемою для більшості профілів можна легко виконати також проектувальний розрахунок. Тоді умова міцності записується у вигляді: . (3.15)

Визначивши потрібний момент опору балки та вибравши певний профіль поперечного перерізу, добирають його розміри.

Розглянемо приклад розрахунку балки за основною умовою міцності.

Приклад 3. На балку (рис. 3.7) діє навантаження 100 кН, рівномірно розподілене по прогону. Матеріал балки - Ст3 ([σ] = 160 МПа). Треба добрати різні варіанти поперечних перерізів балки (круглий, прямокутний з відношенням висоти до основи рівний двом та двотавровий).

Рис. 3.7. Розрахункова схема балки

1. Визначаємо реакції і:

, ,.

, ,.

Перевірка:

, .

2. Будуємо епюру поперечних сил:

, ,

при х = 0, кН; прих = 1,6, кН.

3. Будуємо епюру згинальних моментів:

, м,

при х =0, М=0; при х= 1,6, М=0,

Максимальний згинальний момент буде посередині прогону при х=0,8м. Визначаємо цей момент:

кНм.

Небезпечний переріз розглядуваної балки по нормальним напруженням буде також посередині прогону в місці дії максимального згинального моменту.

Небезпечними точками цього перерізу будуть точки, найбільш віддалені від нейтральної лінії. Умова міцності для них така:

МПа.

Звідси знаходимо потрібне значення моменту опору поперечного перерізу балки: .

При розрахунках на міцність відхилення розрахункових напружень від допустимих мають бути в межах ± 5% значення допустимих напружень.

Щоб порівняти ваги балок різних варіантів перерізів, враховуючи, що вага пропорційна площі F перерізу, визначимо також і площу F. Для більшої наочності, розрахунком знайдені розміри поперечних перерізів будемо округляти до найближчих більших цілих чисел, а для стандартного профілю візьмемо найближчий профіль з більшим моментом опору.

1. Підберемо круглий поперечний переріз балки. Момент опору для круглого перерізу дорівнює:

см³.

Тоді: .

Вибираємо d=11 см =110 мм. Тоді його площина буде дорівнювати:

см².

2. Підберемо прямокутний поперечний переріз балки з заданим відношенням висоти до основи . Момент опору для прямокутного перерізу дорівнює: ,

де , тому: см³.

Тоді: см.

Вибираємо b = 6 см = 60 мм, тоді площа перерізу балки буде дорівнювати: см².

3. Підберемо двотавровий поперечний переріз. Із таблиць сортаменту ГОСТ 8239-89 вибираємо двотавр № 18. Його момент опору дорівнює: см³ > 125 см³, а площина F = 23,4 см².

4. Тепер зрівняємо ваги круглого, прямокутного та двотаврового поперечних перерізів балок, прийнявши вагу двотаврової балки за 100 відсотків: см² – 100 %;

см² – х %.

Тоді: х = 406%.

см² – 100 %;

см² – х %.

Таким чином: х = 308%.

Результати розрахунків дають змогу вирішити, які з перерізів раціональні, а які ні.