3.4. Нормальні напруження

При згинанні в поперечному перерізі балок діють нормальні напруження, які можна обчислити по формулі:

, (3.8)

де М - згинальний момент в перерізі;

І_х - осьовий момент інерції відносно головної центральної осі поперечного перерізу, співпадаючої з нейтральною лінією перерізу;

у_мах — відстань від осі х до найбільш віддалених волокон перерізу.

Аналізуючи формулу (3.8) бачимо, що при згинанні нормальні напруги розподіляються в поперечному перерізі по прямій, мають максимальні значення в найбільш віддалених волокнах поперечного перерізу та дорівнюють нулю в нейтральному шарі перерізу. Тоді умова міцності по нормальним напруженням буде мати такий вигляд:

.(3.9)

Користуючись цією умовою можна підібрати поперечні перерізи балки, чи робити перевірку на міцність діючої конструкції.

3.5. Дотичні напруження

При згинанні, коли в поперечних перерізах балки діють Q і М, виникають не тільки нормальні напруження σ, а й дотичні τ, для визначення яких використовується формула:

, (3.10)

де Q - поперечна сила в перерізі;

- статичний момент площини поперечного перерізу балки, яка знаходиться між найбільш віддаленими волокнами поперечного перерізу та точкою, в якій знаходиться дотична напруга (статичний момент площини береться відносно головної центральної осі поперечного перерізу балки - нейтральної лінії балки);

b - ширина балки на рівні точки поперечного перерізу балки, в якій визначається дотична напруга;

І_х - головний центральний момент інерції поперечного перерізу балки.

Ця формула вперше була виведена російським інженером Д. І. Журавським і носить його ім’я. Аналізуючи її можна зробити деякі загальні висновки щодо розподілу дотичних напружень в перерізах при поперечному згинанні балок:

1. вигляд епюри τ залежить від форми поперечного перерізу балки;

2. у крайніх найбільш віддалених від нейтральної лінії точках τ завжди дорівнює нулю;

3. найбільшого значення дотичні напруження для більшості видів перерізів балок досягають на нейтральній лінії перерізу, причому:

, (3.11)

де - статичний момент половини площі поперечного перерізу.

Приклад 3. Побудувати епюри нормальних і дотичних напружень по висоті поперечного перерізу двотаврової балки № 12, якщо в перерізі діють згинальний момент М = 2 кНм та поперечна сила Q = 10 кН.

З таблиць сортаменту знаходимо основні розміри двотаврової балки № 12, момент інерції площі поперечного перерізу відносно осі z та статичний момент половини площі цього перерізу також відносно осі z.

Таким чином: ;.

Нормальні напруження в точках поперечного перерізу на відстані у від нейтральної лінії (по лінії тm) визначаємо за формулою (3.8) (рис. 3.6).

За абсолютним значенням максимальні напруження знаходяться в точках поперечного перерізу при см.

Визначимо їх:

Рис. 3.6. Розрахункова схема

Епюра напружень σ наведена на рис. 3.6 ліворуч від профілю поперечного перерізу двотаврової балки.

Дотичні напруження в точках поперечного перерізу двотаврової балки на відстані у від нейтральної лінії визначаємо за формулою Журавського (3.10).

Для побудови епюри дотичних напружень обчислимо τ в кількох характерних точках:

а) в крайніх волокнах (по лінії АВ);

б) у місці сполуки полиці із стінкою (в точках 1 і 2), причому будемо вважати, що точки 1 і 2 розташовані нескінченно близько до межі полиці, але лежать по різні боки від цієї межі (для ясності це місце на рис. 3.6 показано окремо);

в) у точках нейтральної лінії.

Для точок лінії АВ статичний момент, оскільки ця лінія співпадає з крайніми волокнами поперечного перерізу. Отже, в точках лініїАВ напруження τ = 0.

Для точки 1 ширина перерізу b = 6,4 см, статичний момент визначатиметься статичним моментом полиці. З досить високим ступенем точності полицю можна вважати прямокутником з розмірами b × t. Тоді:

.

Дотичні напруження в точці 1 дорівнюють:

.

Для точки 2 статичний момент залишається практично тим самим, але ширина перерізу b = 0,48 см. Тому дотичні напруження в точці 2 дорівнюють:

.

Отже, при переході від точки 1 до точки 2 дотичні напруження різко збільшуються.

Для точки нейтральної лінії ширина перерізу d = 0,48 см, а статичний момент слід взяти для половини перерізу балки. Очевидно, це буде найбільша величина для даного поперечного перерізу Тоді:

На підставі одержаних даних будуємо епюри τ для нижньої половини перерізу. Для верхньої половини, внаслідок симетрії профілю відносно осі z епюра буде симетричною. Епюру τ наведено на рис. 3.6 праворуч від поперечного перерізу двотаврової балки.