6. Самоіндукція. Екстраструми замикання і розмикання

Основні формули

1. Кількість електрики Q, що протікає в контурі,

де R – опір в контурі; ∆ψ – зміна потокозчеплення.

2. Електрорушійна сила самоіндукції ε_с, яка виникає в замкнутому контурі при зміні сили струму в ньому,

ε_с(миттєве значення), або<ε_с>(середнє значення),

де L – індуктивність контуру.

3. Потокозчеплення контуру

, деL – індуктивність контуру.

4. Індуктивність соленоїда (тороїда): L = μ_оμn²V, або L = μμ_о

де V = lS – об’єм соленоїда, n = N/l – число витків на одиницю довжини соленоїда або концентрація витків; N – загальне число витків соленоїда.

В усіх випадках обчислення індуктивності соленоїда (тороїда) із намагнічуваним осердям (μ>1) по наведеній формулі магнітну проникність необхідно визначити за графіком залежності B від Н (див. додаток 1), а потім по формулі

μ=В/(μ_оН).

5. Закон зміни струму I у колі, що має активний опір R і індуктивність L:

де

1. у випадку замикання кола початковий струм І₀ = 0, тоді: деε – ЕРС джерела струму; t – час встановлення струму (від 0 до ε /R);

2. у випадку розмикання кола ε = 0, тоді: деI_о - значення струму в колі при t = 0; t – час зникнення струму.

Приклади розв’язування задач

Задача 1. На котушку довжиною l = 50 см і діаметром d =10 см, яка не має залізного сердечника, намотано N = 10³ витків проводу. По котушці тече струм I, що змінюється за законом (А). Визначити: 1) індуктивність котушки; 2) найбільше значення ЕРС самоіндукції в котушці; 3) енергію магнітного поля котушки.

Розв’язання

Дано: N = 10³ l = 50 см d =10 см I=f(t) . L -? ε-? Wm -?

1) Індуктивністю котушки L називається потокозчеплення котушки, викликане одиничним струмом, що протікає в ній: де потокозчепленняψ = NФо; N - кількість витків у котушці; Фо = ВS – магнітний потік, що пронизує кожен виток. Вважаючи, як для даного соленоїда, що напруженість поля в котушці, викликана протіканням у ній струму I, аВ = μμоН,

одержимо , де враховано, що.

2) За законом Фарадея для явища самоіндукції:

ε_с

Тоді ε_с

3) Енергія магнітного поля

Обчислення :

ε

Задача 2. При зміні струму від 5 до 10 А за 0,1 с у котушці виникає ЕРС самоіндукції, що дорівнює 10 В. Визначити індуктивність котушки й енергію магнітного поля при струмі I = 10 А.

Розв’язання

Дано: І2 = 10 А І1 = 5 А ∆t = 0,1 c εс = 10 B_ L-? W-?

Величина електрорушійної сили самоіндукції визначається за формулою εс Звідси L= εсεс

Обчислення

Енергію магнітного поля визначимо із співвідношення

Обчислення

­­­­­­­­­­­Задача 3. На залізний сердечник довжиною l = 50см і перерізом S = 2 см² намотаний в один шар провід так, що на кожний сантиметр довжини стержня припадає 20 витків. Визначити енергію магнітного поля в сердечнику соленоїда при силі струму в ньому 0,5 А.

Розв’язання

Дано: l = 50 см S = 2 см² n = 20 витків/см І = 0,5А_ W -?

Енергію магнітного поля в сердечнику соленоїда можна знайти за формулою W = LI²/2, де L – індуктивність соленоїда, що виражається через розміри соленоїда так: L = μμоn²V, де V – об’єм соленоїда, μ – магнітна проникність сердечника, яку можна знайти з формули зв'язку між В і Н :

μ = В / μ_оН. Напруженість Н магнітного поля в середині соленоїда можна визначити за формулою: Н = nI; Н = 2·10³·0,5 = 10³ А/м. За графіком (див. додаток 1) знаходимо індукцію магнітного поля, вона дорівнює В =1,3 Тл. Таким чином, енергія магнітного поля в сердечнику соленоїда

Проведемо обчислення

Перевірка розмірності

Задача 4. При швидкості зміни струму ∆I /∆t у соленоїді , яка дорівнює 50 А/c, на його кінцях виникає ЕРС самоіндукції ε_с = 0,08 В. Визначити L індуктивність соленоїда.

Розв’язання

Дано: ∆I /∆t = 50 А/c εс = 0,08 В L-?

Індуктивність соленоїда зв'язана з ЕРС самоіндукції і швидкістю зміни струму в його обмотці співвідношенням εс

Виносячи постійну величину L за знак зміни, одержимо

ε_с

Опустивши знак “мінус” у цій рівності (напрямок ЕРС в даному випадку несуттєвий) і виразивши цікавлячу нас величину­ – індуктивність, одержимо

ε_с.

Проведемо обчислення

.

Задача 5. По соленоїду тече струм силою I = 2А. Магнітний потік Ф, що пронизує поперечний переріз соленоїда, дорівнює 4 мкВб. Визначити індуктивність L соленоїда, якщо він має N = 800 витків.

Розв’язання

Дано: I = 2 А Ф = 4 мкВб N = 800 L -?

Індуктивність соленоїда зв'язана з потокозчепленням ψ співвідношенням ψ=LI, звідси L=ψ/I. Замінивши тут потокозчеплення ψ через магнітний потік Ф і число витків N соленоїда (ψ = ФN), одержимо L = ФN/I. Проведемо обчислення

Задача 6. Обмотка соленоїда складається з одного шару щільно вкладених один до одного витків мідного дроту діаметром d=0,2 мм. Діаметр D соленоїда дорівнює 5 см. По соленоїду тече струм I =1 А. Визначити кількість електрики Q , що протікає через обмотку, якщо кінці її замкнуті накоротко. Товщиною ізоляції знехтувати.

Розв’язання

Дано: d = 0,2 мм D = 5 см I = 1 А μ = 1__ Q -?

Кількість електрики dQ, що протікає по провіднику за час dt при силі струму I, визначається рівністю dQ = Idt (1) Повна кількість електрики, що протікає через провідник за час t, буде

Струм в даному випадку зменшується експоненційно з часом і виражається формулою

Вносячи вираз сили струму I під знак інтеграла й інтегруючи від 0 до ∞ (при t→ ∞, I→ 0), одержимо

Підставимо межі інтегрування і визначимо кількість електрики, що протікає через обмотку

(2)

Знайдемо індуктивність L соленоїда і опір R обмотки за формулами

деl₁ – довжина соленоїда; l – довжина проводу; s – площа перетину проводу; d – діаметр проводу, d₁ – діаметр соленоїда, ρ – питомий опір проводу.

Вирази для L і R підставимо у формулу (2), одержимо

Але l₁/N – діаметр проводу, тому що витки щільно прилягають один до одного. Отже,

Проведемо обчислення

Задача 7. Електрична лампочка, опір R₁ нитки якої в гарячому стані дорівнює 10Ом, підключається через дросель до дванадцятивольтового акумулятора. Індуктивність дроселя L = 2Гн, опір R₂ = 1 Ом. Через який час після включення лампочка засвітиться, якщо вона починає помітно світитися при напрузі на ній U = 6 В? Опір лампочки вважати постійним.

Розв’язання

Дано: U = 6 В ε =12 B L = 2 Гн R1 = 10 Ом R2 = 1 Ом t2 -?

Струм в колі після підключення до джерела ЕРС змінюється за законом: (1) де R = R1+R2– загальний опір кола; I = ε/R – усталений струм. При включенні струму виникає струм самоіндукції (екстраструм замикання), спрямований назустріч

основному струму, цим пояснюється знак “мінус” у формулі (1). Струм самоіндукції, що залежить від співвідношення R і L у колі:

Свічення лампочки почнеться при струмі

Таким чином, для визначення часу t₂ маємо рівняння

Розв’язуємо рівняння відносно t₂:

Звідси:

Обчислення