Физика / 1.________

R = V2 = 10.81 = 5.03 м an 2.15

Приклад 2. Тіло кинутли під кутом α до горизонту із швидкістю V0 висоти Н. Дослідити рух тіла.

Розв′язок Тіло рухається в полі сили тяжіння Землі, яке створює стале

прискорення тіла g, направлене по вертикалі до поверхні Землі. Для розв′язку задачі введемо систему координат ХОУ, спрямувавши вісь ОХ по горизонталі, а вісь ОУ по вертикалі від поверхні Землі. В цих координатах

§ 9. Імпульс тіла та імпульс сили

Імпульс сили добуток сили на час її дії на тіло: Fdt.

Імпульс тіла (кількість руху) добуток маси тіла на його швидкість P=mV. Одиницею вимірювання величини імпульсу є H c .

Рівняння другого закону Ньютона можна записати через імпульс таким

Така форма запису другого закону Ньютона є універсальною і може використовуватися як у класичній, так і в релятивістській механіці.

§ 10. Закон збереження імпульсу

Замкнена механічна система це система тіл, на яку не діють зовнішні сили.

Закон збереження імпульсу імпульс замкненої системи зберігається за величиною й напрямом. Він випливає з третього закону Ньютона, який можна сформулювати ще й так: дія і-ої матеріальної точки на j-ту точку носить характер взаємодії; сили взаємодії чисельно рівні, їх вектори лежать на одній прямій і протилежні за напрямком Fij = -Fji. Нехай система, наприклад, складається з трьох тіл. Запишемо рівняння руху для кожного з них:

Нехай час t1 та час t2 визначають проміжок в якому відбулося співударяння тіл замкненої системи. За закономr збереженняr імпульсу

P(t1 ) = P(t2 ) .

§ 11. Центр мас (інерції)

Центром мас системи з N тіл є уявна матеріальна точка в просторі, радіус-вектор якої задається рівнянням:

Із одержаного рівняння випливає теорема про рух центра мас: центр мас системи тіл рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює масі тіл системи, а діюча сила – векторній сумі зовнішних сил, діючих на систему.

Для ілюстрації незмінності положення центра мас замкненої системи тіл, розглянемо таку задачу.

Приклад. На яку відстань переміститься човен, що стоїть на воді ставка, коли людина маси m переміститься з корми на ніс човна? Довжина човна L, маса човна М, маса людини m.

Розв′зок

Нехай координата носа човна по перпендикуляру до берега є S. Координата центра мас човна є S+L/2, а людини S+L. За визначенням центр мас системи "човен + людина" є

= M(S + L / 2) + m(S + L) XC M + m .

Після переміщення людини, ніс човна зміститься від початку відліку на відстань x. Тепер координата людини буде S+x, а координата центра мас човна S+x+L/2, причому їх центр мас визначиться так

= M(S + x + L / 2) + m(S + L) XC M + m .

Прирівнюючи праві частини виразів для центра мас системи "човен+людина" одержимо, що човен переміститься на відстань

x = L mm+M .

§ 12. Реактивний рух

Рівняння Мещерського.

Розглянемо рух тіла змінної маси, наприклад, ракети. Нехайr за час dt маса ракети за рахунок витікання газів із сопла зі швидкістю c відносно

В виразі (2) ur = cr + Vr абсолютна швидкість витікання частинок газу (див. Мал. 9), що відокремлюються від тіла, V - швидкість тіла. Швидкості u та V є швидкості відносно Землі. Підставляючи (2) в (1) одержимо приріст

Тепер рівняння руху ракети (5) - можна записати у такому вигляді

В (7) Fp −реактивна сила, яка виникає при витокові одиничної маси за

1 часу у напрямкові, протилежному швидкості ракети. Коли на ракету не діють зовнішні сили, то вона може рухатися лише за рахунок реактивної сили. Рівняння (6) було одержано Мещерським.

де М-повна маса ракети з паливом, m-маса ракети без палива.

§ 13. Сили в природі

Фізика розглядає чотири види взаємодії між тілами

•електромагнітну взаємодію,

•гравітаційну взаємодію,

•сильну взаємодію нуклонів у ядрі,

•слабку взаємодію,

які зумовлюють існування електромагнітних, гравітаційних та ядерних сил. Досліди показали, що природа слабкої взаємодії витікає з електромагнітної.

В механіці розглядаються лише сили електромагнітної взаємодії між зарядженими структурними частинками середовища (закон Кулона) та гравітаційної взаємодії (закон всесвітнього тяжіння Ньютона) між частинками, що мають масу. Саме ці сили зумовлюють сили тертя, пружні сили, силу тяжіння та інші.

Сили електричної взаємодії заряджених точкових тіл із зарядами q i q0 визначаються законом Кулона:

F = k qqr20 ,

де k = 4πεε1 0 =9 109Н/Кл2, εo=8.85 10-12Ф/м електрична стала, r відстань

між зарядами. Джерелом кулонівських сил є електричний заряд тіл. Вони можуть бути силами тяжіння (різнойменно заряджені тіла) або силами відштовхування (однойменно заряджені тіла). Ці сили є центральними, тобто лежать на прямій, що з’єднує центри тіл.

Сила гравітаційної взаємодії двох точкових мас m та m0 визначається законом всесвітнього тяжіння між тілами Ньютона

коефіцієнт тертя. Сила тертя спокою за величиною дорівнює тангенціальній складовій зовнішньої сили і має протилежний їй напрямок. Сила тертя не залежить від величини дотичних поверхонь і швидкості тіла.

Розглянемо стан тіла на похилій площині з кутом нахилу α, який визначається величиною коефіцієнта тертя та кутом нахилу площини. Тіло буде знаходитися в стані спокою, коли величини тангенціальної сили та сили тертя мають співвідношення Fтр≥Fτ. З простих міркувань маємо (див. мал.)

Fτ=mgsinα та Fтр=µFn=µmgcosα. При tgα > µ, тіло буде ковзати вниз по похилій площині з прискоренням, при tgα=µ - здійснювати рівномірний

прямолінійний рух абоr rзнаходитисяr r в стані спокою, при tgα<µ тіло буде покоїться на площині. F F P = mgr F

Силою опору Fоп називається сила взаємодії між тілом та середовищем в якому воно рухається. Таким середовищем може бути рідина або газ. Сила опору в газі має напрямокr

протилежний напрямковіr швидкостіr тіла V , пропорційна швидкості Fоп = −χV , а при великих

швидкостях квадрату швидкості Fоп=-χ'V2, де χ та χ′ коефіцієнти опору. Сила опору в рідині при невеликих швидкостях тіла також пропорційна швидкості. Наприклад, у

випадку кульки радіуса r , що рухається в рідині з швидкістю V, визначається

де η коефіцієнт опору (динамічний коефіцієнт в'язкості).

З метою ілюстрації застосування другого закону Ньютона з урахуванням сили тертя розглянемо таку задачу.

Приклад. Невагомий блок, укріплений на вершині двох похилих площин, що складають із горизонтом кути, α=30° і β=45° (див.мал.). Гирі А й В рівної маси m1=m2=1 кг, з'єднані ниткою і перекинуті через блок. Знайти: 1) прискорення, із яким рухаються гирі, 2) натяг нитки. Коефіцієнти тертя гир А й В об похилі площини рівні k1=k2=0,1. Тертям у блоці знехтувати.

Розв'язок Знайдемо тангенціальні складові сил тяжіння

F1τ = m1gsin α, F2τ = m2gsinβ,

Знайдемо нормальні складові сил тяжіння

F1n = m1gcos α, F2n = m2gcosβ

Величина рівнодійної тангенціальних сил та сил тертя дорівнює

F = (F2τ −kF2n ) −(F1n +kF1n )

Після підстановки нормальної та тангенціальної складових одержимо

F = g[m2 (sinβ −k sinβ) −m1(sinα + k cos α)].

Запишемо рівняння другого закону для тіла 2 m2a =F2τ −Fн2 −kF2n,

де Fн2 сила натягу. Звідси маємо рівняння для сили натягу

Fн2 =F2τ −kF2n −m2a .

Послідовна підстановка значень відповідних величин дає

Fн2 = m2g(sinβ −k cosβ) −m1 g[m2 (sinβ −k sinβ)+−m1(sinα +k cos α)] m1 m2

Fн2 = m1m2 [sin α + sinβ++k(cos α −cosβ)] = 6,0 Н. m1 m2

§ 14. Робота сили та її обчислення. Потужність. Енергія

Робота є характеристикою дії сили. У процесі роботи відбувається перетворення енергії одного тіла чи системи тіл в енергію другого тіла чи системи тіл, при цьому витрачувана й створювана енергії можуть різниться за своїм видом. Елементарна робота дорівнює скалярному добутку сили на

Робота є безконтактним способом передачі енергії від одного тіла до іншого, а її величина є мірою переданої енергії.

Потужність сили або системи сил чисельно дорівнює роботі, яку вони

2

Потенціальна енергія тіла визначається взаємним розміщенням тіл, із якими воно взаємодіє:

• для електростатичної взаємодії:

Eп = k q1rq2 ,

• для гравітаційної взаємодії:

• Еп = G mm0 , r

де В стала інтегрування. При r → ∞ сили взаємодії зникають, і тоді B=0, а

енергія Eп = Cr . Підставляючи відповідні значення величин С, одержимо

наведені вище вирази для потенціальних енергій електричного та гравітаційного полів.

§ 15. Робота зовнішньої сили

Під дією зовнішньої сили на rвідокремлене від інших тіл та силового поля тіло, воно придбає швидкість V . При цьому потрібно встановити, у що

кінетична енергія тіла.

Таким чином робота зовнішньої сили, що діє на відокремлене тіло, йде на приріст кінетичної енергії тіла

δA=dEk.

§ 16. Закон збереження енергії

Закон збереження енергії: величина повної механічної енергії замкненої консервативної системи, що є сумою потенціальної та кінетичної енергій Ek+Eп, зберігається, тобто Е=Ek+Eп=const у будь-який момент часу, до і після будь-яких внутрішніх взаємодій між складовими системи.

j=1,j≠i

j=1, j≠i

робота внутрішніх сил, яка виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії тіла dEiп .

Тепер, використовуючи (3-5), (2) можна записати таким чином

dEik = δAi − dEiп , dEik + dEiп = δAi ,

В (6)