Физика / 1.________

r r

докладніше це питання. Швидкості V та V1 є дотичними до траєкторії (див.

Мал. 6) і точка перетину нормалей до них визначає центр кола О, дуга якого dS співпадає з траєкторією dS. За радіус кола можна взяти R чи R1, величини яких практично однакові і які називаються радіусами кривизни траєкторії. Приріст вектора швидкості dV можна розкласти на два вектори: по нормалі - dVn та по дотичній до траєкторії - dVτ. Ці складові називаються нормальною

Кривина траєкторії за визначенням є С= ddSϕ , dϕ - кутова величина дуги dL. Для малих dϕ маємо dS=R·dϕ i кривина траєкторії може бути записана у вигляді C = R1 .

§ 6. Кінематика обертового руху

Обертовий рух точки (див. Мал. 7) визначається кутом повороту радіусвектора положення тіла r(t). Елементарний поворот dϕ визначається як вектор, що лежить на осі обертання, причому обертання тіла відбувається проти годинникової стрілки, якщо його спостерігати з кінця вектора dϕ.

Цей вектор задовольняє аксіомам алгебри векторів. Однак, скінчені повороти ϕ не задовольняють цим аксіомам і не можуть представлятися векторами. Вектор переміщення dr за величиною можна визначити як dr=rdϕ.

Кутова швидкість є похідною від кута

повороту радіус-вектора r(t)

ωr = dϕr , dt

її вектор лежить на вісі обертання і паралельнийr

вектору dϕr . Кутове прискорення β

визначається як

βr = dωr dt

і є вектором, паралельним вектору кутової швидкості.

кутового прискорення - радс2 .

Лінійна швидкість V обертовогоr руху дорівнює векторному добуткові кутової швидкості dϕr rr Vr drr ωr β ωr ω і радіуса обертання rr : Vr =[ωrrr].

Дійсно, величина швидкості V= V = drdt = rdϕ= rω , а за напрямком Vr =[ωrrr].

Величина тангенціального прискорення обертового руху дорівнює

добуткові кутового прискорення β i радіуса кривизни r aτ=βr. Дійсно, aτ= dVdt

= d(dtωr) =r· ddtω =βr (r=const) , причому arτ =[βrrr].

Час повного обороту (кут обертання 360 градусів) називається періодом T, а число повних оборотів за одиницю часу - частотою n=1/T, причому кут повороту за одиницю часу ϕ = 2πn. Одиницею вимірювання швидкості ω є рад/c, а прискорення β - рад/c2.

На сам кінець кінематичного розгляду механічного руху зазначимо таке.

У кінематиці:

•механічний рух вивчається без урахування взаємодії тіл;

•при розгляді механічного руху не враховуються дії одних тіл на інші;

•рух розглядається з його геометричної сторони: — розглядається положення тіл в обраній системі відліку й зміна їхнього положення;

•розглядаються швидкості тіл без урахування дії одних тіл на інші;

•розглядаються зміни швидкостей без урахування дії одних тіл на інші.

•щоб розглядати механічний рух чи спокій тіла, необхідно розглянути як мінімум два тіла;

•не можна говорити про рух чи спокій тіла, в околицях якого немає інших тіл;

•не можна говорити про рух чи спокій якого-небудь тіла, не визначивши, щодо чого розглядається зміна його положення;

•ознакою, по якій можна судити про наявність механічного руху, є зміна взаємного розташування тіл;

•зміна взаємного розташування тіл відбувається в часі і просторі;

•зміна взаємного розташування тіл відбувається в якомусь проміжку часу. Переміщення — вектор, що з'єднує початкове і кінцеве положення

матеріальної точки (точки тіла):

•векторна величина;

•величина відносна;

•переміщення складаються геометрично;

•величина переміщення дорівнює пройденому шляху тільки при прямолінійному русі в одному напрямку;

•проекція переміщення на координатну вісь — величина скалярна; може бути додатна, відємна чи рівна нулю;

•знак проекції переміщення на координатну вісь залежить від напрямку переміщення щодо додатного напрямку осі координат.

§ 7. Приклади задач кінематики криволінійного руху

1.Кінематика рівноприскореного прямолінійного руху.

Якщо задати прискорення a(t) частинки як функцію часу та початкові значення швидкості V0=V(t=0) і її положення в просторі r0=r(t=0), то рух частинки буде визначений повністю. Наприклад, якщо задано початкове швидкості V0 та прискорення рівноприскореного прямолінійного руху

а=const, то

рідини чи газу в залежності від його висоти.

2. Кінематика криволінійного руху тіла.

Нехай задано радіус-вектор положення тіла в просторі як функцію часу r={2t;3t2;4t3}.

Необхідно визначити швидкість тіла, прискорення а та його складові аn та аτ і радіус кривизни траєкторії R у момент часу t=2.

Розв’язок.

• Знайдемо величини швидкості та прискорення

•Нормальну складову прискорення аn знайдемо із загального співвідношення

an = a2 − a2τ = 48.372 − 47.982 = 37.86 = 6.15 м/c2 .

Визначимо радіус кривини траєкторії через величини швидкості та нормального прискорення аn

3. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту.

Тіло кинуто під кутом α до горизонту. Дослідити характеристики руху

тіла. Розв'язок

На тіло діє сила тяжіння Землі, яка створює прискорення тіла g, направлене вертикально до поверхні Землі. Уведемо до розгляду двомірну систему координат ХОУ так, що вісь ОХ направлена по горизонталі. Вектор прискорення тіла можна записати у вигляді

а={0;-g}.

Складова швидкості Vx=V0 cosα=const тому, що вздовж вісі ОХ на тіло не діють зовнішні сили. Складова швидкості Vy=V0sinα - gt, як швидкість руху з початковою швидкістю V0y=V0sinα. Тепер вектор швидкості можна записати у вигляді

V={Vx;Vy}={ V0 cosα; V0sinα - gt}.

Величина вектора швидкості може бути представлена у вигляді

V = (V0 cosα)2 + (V0 sinα − gt)2 .

Тангенціальну складову прискорення знайдемо як проекцію прискорення а

Нормальну складову прискорення обчислимо за формулою

Підставляючи відповідні вирази, одержимо r

V ={−3aπt2 sin ϕ; 3aπt2 cosϕ; 0} =3aπt2{−sin ϕ; cosϕ; 0}.

Вектор лінійної швидкості одержимо як векторний добуток вектора

який співпадає з одержаним вище через пряме визначення.

Для розрахунку величини тангенціального прискорення аτ, знайдемо величину лінійної швидкості

аτ=6аπt.

Одержана величина тангенціального прискорення збігається з величиною, одержаною за прямим визначенням.

Контрольні питання

1. Визначити поступальний та обертовий рухи тіла.

2.Сформулювати правила знаходження результуючого вектора при додаванні, відніманні, та векторному добуткові векторів.

3.Одержати похідну одиничного вектора, якщо його напрямок залежить від часу.

4.Дати поняття та одержати вирази для швидкості, прискорення, нормального та тангенціального прискорення.

5.Дати визначення кривини та радіуса кривни траєкторії криволінійного руху.

6.Одержати вирази для зв'язку лінійних та кутових характеристик обертового руху.

7.Дати поняття відносності механічного руху.

8.Розглянути характеристики прямолінійного рівномірного, рівноприскореного та нерівномірного руху.

Динаміка

Динаміка - розділ механіки, що вивчає рух тіла чи системи тіл у взаємозв'язку з причинами виникнення руху. До таких причин відносять сили або силові поля.

Основною (прямою) задачею динаміки є визначення положення тіла в довільний момент часу за відомими початковим положенням, початковою швидкістю та діючими на тіло силам. Обернена задача механіки знайти сили, що діють на тіло за початковими та поточними координатами та швидкостями тіла.

Сила F є результат взаємодії тіл. Величина сили являє собою міру механічної дії на тіло з боку інших тіл або силових полів. Сила, як вектор, повністю визначена, коли задані її

•величина (модуль),

•напрямок,

•точка прикладання.

Врезультаті дії сили тіло змінює швидкість, або деформується. Вимірювання сили здійснюється за зміною швидкості або деформацією. Одиницею вимірювання величини сили є Н (ньютон).

Дію декількох сил, прикладених у деякій точці тіла можна замінити однією силою F, яку називають рівнодійною і вона дорівнює

Зокрема, коли дві сили діють на одній прямій, то рівнодійна буде направлена по напрямку більшої з них, а за величиною буде рівна

F = F1 + F2 ,

коли їх напрямки співпадають і

F = F1 − F2 ,

коли вони мають протилежні напрямки.

Якщо дві сили, прикладені в одній точці тіла, діють під кутом α, то рівнодійною буде сила, направлена по діагоналі паралелограма, побудованого на них і за величиною, може бути обчислена так

F = (F1 + F2 )2 = F12 + F22 + 2(F1F2 ) = F12 + F22 + 2F1F2 cos .

Якщо на тіло в деякій точці О діють більше двох сил із різними напрямами дії, то для знаходження рівнодійної застосовують правило багатокутника: вектор другої сили встановлюють у кінці вектора першої сили, вектор третьої сили – в кінці вектора другої сили і т.д.

Результуючим вектором сили буде вектор, проведений з початку першої сили в кінець останньої ( у нашому випадку на малюнку в кінець третьої сили).

Якщо сили прикладені в різних точках тіла, то за наведеними вище правилами можна знайти напрямок та величину результуючої сили, але залишиться невідомою точка її прикладання. Причому знайдена результуюча сила не буде рівнодійною.

Під проекцією точки на деяку вісь, розуміють точку перетину осі та перпендикуляра, проведеного з даної точки до осі. Проекцією деякої сили F на виділений напрямок, наприкладr , на вісь ОХ, буде

направлений відрізок Fx , утворений сполученням r

проекцій початку та кінця вектора F на вісь ОХ.

В основі класичної динаміки (механіки) лежать три узагальнені експериментальні закони, сформульовані Ньютоном.

§ 8. Закони Ньютона

Перший закон Ньютона:

існують системи відліку, в яких тіло рухається рівномірно й прямолінійно або знаходиться в стані спокою до тих пір, поки на нього не подіють сили. Такі системи відліку називаються інерційними. Цей закон справджується для поступального руху як матеріальної точки, так і макроскопічного тіла.

Другий закон Ньютона:

в інерційній системі відліку рівнодійна сил, що діють на тіло, пропорційна

(кілограм).

Маса тіла є мірою інертності тіла по відношенню до дії на нього зовнішньої сили: чим більше маса тіла, тим менше прискорення, створене силою і навпаки.

Третій закон Ньютона:

дія одного точкового тіла на інше носить характер взаємодії. Сили взаємодії рівні за величиною, лежать на одній прямій, що з'єднує тіла і протилежні за напрямком.

Розглянемо приклади на застосування другого закону Ньютона.

При визначеній силі F(t), що діє на тіло та заданих початкових умовах для швидкості

r

V0 ={V0x ;V0y ;V0z }

та радіус-вектора положення тілаr

r0 ={x0 ; y0 ;z0},

можна визначити місцеположення тіла для довільного моменту часу. Дійсно,

Далі знайдемо компонентиrшвидкості

V(t) ={Vx (t);Vy (t);Vz (t)}

через інтегрування компонент прискорення

Vx = ∫ axdt + V0x , Vy = ∫ aydt + V0y, Vz = ∫ azdt + V0z .

Наr останньому кроці знайдемо компоненти радіус-вектора положення тіла r(t) ={x(t);y(t);z(t)} шляхом інтегрування компонент швидкості

x = ∫ Vxdt + x0, y = ∫ Vydt + y0, z = ∫ Vzdt + z0 .

V ={1.25t2 ; 3t; t + 0.5t3}, dr=Vdt, r = ∫ Vdt + r0 ,

rr ={1.25t3 / 3 + 2; 1.5t2 + 3; 5 + 0.5t2 + 0.125t4},