2-lek_ekonometr

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГІЙ ТА ДИЗАЙНУ КАФЕДРА ЕКОНОМІЧНОЇ КІБЕРНЕТИКИ

ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

вивчення дисципліни «Економетрика»

Київ – 2012

1

Змістовний модуль №1

Тема1.1 «Математичне моделювання як метод наукового пізнання економічних явищ і процесів»

На сьогодні широкого поширення одержало математичне моделювання в різних областях знань: механіці, фізиці, біології, хімії, у тому числі в економіці. Розглянемо основні поняття.

Система – це множина взаємопов’язаних елементів, які складають певну єдність. Модель – система, здатна замінити оригінал (тобто реальну систему) так, що її вивчення

дає інформацію про оригінал. Модель може повністю або частково відтворити структуру системи, що моделюється та її функції.

Моделювання – процес побудови, реалізації та дослідження моделі, який здатний замінити реальну систему та дати інформацію про неї.

Математична модель - система математичних і логічних співвідношень, які описують структуру та функції реальної системи. Математична модель відрізняється за своєю природою від оригінала. Дослідження властивостей оригінала за допомогою математичної моделі зручніше, дешевше, займає менше часу порівняно з фізичним моделюванням, яке використовується в техніці (тобто має ту ж природу, що і оригінал). Більш того, цілий ряд економічних систем неможливо зобразити за допомогою фізичних моделей.

XVIII ст. - початок використання математичних методів у економіці з опублікування роботи "Економічні таблиці" французьким економістом Ф.Кене, який вперше зробив спробу формалізації процесу суспільного відтворення. В подальшому наукове обгрунтування суспільного відтворення було здійснено К. Марксом.

XIX ст. — формується економетрія як наука з початку розробки статистичних методів у вигляді парної та множинної регресії, теорії кореляції, теорії помилок, вибіркових методів (Р.Гамільтон, К.Пірсон, Р. Фішер та ін.).

Вперше термін «економетрії» з’явився в німецькій книзі по бух. обліку, автор якої розумів теорію бухгалтерії. В економічну науку цей термін ввів в оборот норвезький статистик Рагнар Фрім в 1928 р. Як самостійна наука «економетрія» сформувалась в 30-х роках XX сторіччя, завдяки працям Шульца.

В той час поставали такі проблеми:

1)Описати рівнянням залежність попиту від пропозиції;

2)Виробничу функцію: залежність випуску продукції та засобів виробництва. В буквальному перекладі «Екометріка» - вимірювання економіки.

В економічних дослідженнях економетрія широко використовується із розвитком

обчислювальної техніки та появою персональних комп’ютерів (ПК).

2

У сучасній літературі має місце ряд трактувань поняття економетрії, або економетрики (що одне і те ж), як наукової дисципліни: від надмірно розширеного з виміру всього, що є в економіці, до вузько орієнтованого з розгляду лише математико-статистичних способів. Широкий спектр економіко-математичних методів і моделей, корисний майбутнім фахівцям, не вивчається ні в одному з циклів фундаментальних та професійно-орієнтованих дисциплін підготовки економістів.

Економетрика – це наука, яка вивчає конкретні кількісні та якісні взаємозв’язки економічних об’єктів і процесів за допомогою математичних та статистичних методів і моделей.

Економетрична модель – це модель яка з певною мірою надійності, математично описує причинно – наслідкові зв’язки між економічними показниками та величинами.

Економетрична модель - різновид економіко-математичної моделі, параметри якої оцінюються за допомогою методів математичної статистики. Одним з основних підходів у вимірі зв'язку між досліджувальними показниками в економетричній моделі є кореляційно- регресивний аналіз. Він являє собою комплекс методів, за допомогою яких визначається вид рівняння для досліджувальних показників та розрахунок їх параметрів (регресивний аналіз), а також встановлення тісноти та значимості зв'язку між змінними у рівнянні або рівняннях (кореляційний аналіз).

Економетрична модель призначена для аналізу і прогнозування розглядаємих економічних процесів і явищ в умовах невизначеності інформації за допомогою методів математичної статистики.

Тема1.2 «Парний регресійний аналіз».

Однією з головних задач економетрії в ринковій економіці є ретельне вивчення кількісних зв’язків між показниками для кращого розуміння господарських явищ і процесів, що в свою чергу дозволяє більш обґрунтовано сформулювати управлінське рішення та дати прогнози на майбутнє. Для вирішення цієї задачі потрібно вміти будувати економетричні моделі.

Зв’язок між різними явищами в економіці складний і різноманітний. На рівень розвитку одного показника можуть впливати багато факторів, рівень впливу яких різний. Ці закономірності потрібно враховувати під час планування, прогнозування і проведення економічного аналізу. Для вивчення форми зв’язку між показником і факторами на основі статистичних даних використовується регресійний аналіз. Причому, об’єктами дослідження стохастичної залежності соціально – економічних процесів можуть бути різні статистичні показники.

3

Розглянемо економетричну модель представлену загальною лінійною регресією вигляд якої наступний: Y = AX + U , (1)

Де Y - матриця значень залежної змінної (пояснювальної змінної);

X - матриця значень незалежних змінних (пояснюючих змінних);

A - матриця параметрів моделі розмірністю m × n ( m - кількість незалежних змінних, n - число спостережень);

U - матриця випадкової складової.

Незалежні змінні Х (пояснюючі змінні) найчастіше бувають детерміністичними і вони є наперед заданими змінними, або вхідними показниками для економетричної моделі.

Випадкові складові U називаються стохастичними складовими, помилками, залишками. Вони є наслідками помилок спостережень, містять у собі вплив усіх випадкових факторів, а також факторів, які не входять у модель.

Залежні змінні Y (пояснювальні змінні) є результативними показниками, які залежать

в причинно – наслідкових відношеннях, причому зміна фактора виключає зміну показника. Загальний вигляд лінійної однофакторної регресії наступний:

Y = α + βX + u , (2)

Де Y - залежна змінна (пояснювальна змінна);

X- незалежна змінна (пояснююча змінна);

α, β - параметри моделі;

u - випадкова складова.

Регресія характеризує тенденцію зміни статистичного показника Y зумовлену впливом

Для оцінки параметрів регресії використаємо метод найменших квадратів (1 МНК). Зауваження : Основоположниками методу є математики К. Гаус і П. Лаплас.

4

Суть методу МНК: Оцінки параметрів моделі мають бути такими, щоб мінімізувати суму

n

квадратів залишків кожного спостереження показника, тобто ∑u 2 i ® min .

i=1

Параметри a, b регресії можна визначити із нормальної системи рівнянь:

∑Y = n * a + b * ∑X

Розв’язавши лінійну систему отримаємо параметри a, b .

Для знаходження оцінок параметрів лінійної однофакторної регресії можна використати функцію «ЛИНЕЙН» в Excel.

Для визначення сили стохастичного зв’язку між економічними показниками використовується коефіцієнт кореляції.

Стохастичний зв’язок між двома величинами Y та X називається кореляцією.

Нехай є два статистичних показника Y та X із значеннями за n спостережень. Обчислимо коефіцієнт кореляції.

Сила кореляційного зв’язку визначається коефіцієнтом кореляції.

Де − 1 < r < 1 .Якщо r → - 1, то зв’язок між показниками Y та X сильний оберненій; якщо r→ 1, то – сильний прямий ; r→ 0, то – зв’язок слабкий.

За допомогою коефіцієнта детермінації визначається якість побудованої регресійної моделі. Коефіцієнт детермінації обчислюється за формулою

R 2 = 1 - (∑u 2 ) (5)

∑ Y - Y

2

Чим ближче значення R2 до 1 тим вища якість побудованої моделі.

За допомогою F-критерію Фішера характеризується значимість зв’язку в регресійній моделі. У випадку парної регресії цей критерій розраховується за наступною формулою:

n

∑(yˆ i - yi )2 × (n - 2)

знаменника залежності.

Під терміном «ступінь вільності» (ступень свободи) в економетрії розуміють число, яке показує, скільки незалежних елементів інформації із змінних yi (i = 1...n) потрібно для розрахунку суми квадратів, що розглядається. В кореляційному аналізі існує рівняння, яке

5

пов’язує відхилення загальної суми квадратів із залишковою сумою квадратів та сумою

вільності.

За статистичними таблицями F-розподілу Фішера із ступенями вільності 1, (n-2) і рівнем довіри (1-α) вибирається Fтабл . Можлива помилка (рівень значущості) α може прийматися 0,05 або 0,01. Це означає, що у 5% або 1% випадків ми можемо помилитися, а у 95% або 99% випадків (рівень довіри) наші висновки будуть правильні. При умові F>Fтабл побудована регресійна модель відповідає реальній дійсності.

Тема1.3: «Множинний регресійний аналіз».

На практиці економічний процес змінюється під впливом багатьох різноманітних факторів, які необхідно вміти виявляти та оцінювати.

Розглянемо деякі приклади.

Описати і дослідити зв’язок між економічними показниками можна за допомогою лінійної множинної регресії. Дані залежності є стохастичними і в класичних регресійних моделях встановлюють зв’язок випадкової результативної змінної Y і незалежних змінних:

Х1 , Х 2 ,....., Х m у випадку n - спостережень.

Стохастична залежність, що визначається лінійною регресією у випадку m пояснюючих змінних може бути виявлена лише при багаторазовому повторенні спостережень. Результати спостереження представляються у вигляді таблиці статистичних даних.

Остання залежність має вигляд лінійної регресії у випадку m пояснюючих змінних.

Y = β 0 Х 0 + β1 Х1 + ..... + β m Х m + U (3.1),

Де Х 0 = 1 - фіктивна змінна; Y - залежна (пояснювальна) змінна; Х1 ,.., Х m − незалежні

(пояснюючі) змінні; U - помилки; β0 , β1 ,.., β m - невідомі параметри, які потрібно оцінити.

Якщо позначити оцінки параметрів β0 , β1 ,.., β m через b0 , b1 ,.., bm , то отримаємо наступне рівняння лінійної багатофакторної регресії:

6

Враховуючи табличний запис статистичних даних показників рівняння лінійної множинної регресії (3.1) набуде вигляду (3.3)

уi = β0 xi 0 + β1 xi1 + ..... + β m xim + ui , (3.3) де i = 1,2,..., n

Якщо b0 , b1 ,.., bm можливі оцінки β0 , β1 ,.., β m , тоді регресія (3.3) набуде вигляду (3.4) yˆ i = b0 xi 0 + b1 xi1 + ..... + bm xim .

Знаходження МНК - оцінок b0 , b1 ,.., bm лінійної множинної регресії може бути здійснене декількома способами.

1 спосіб. Знаходження МНК - оцінок із системи нормальних рівнянь, яка в багатофакторному випадку має вигляд:

b0 ∑xi20 + b1 ∑xi0 * xi1 + ... + bm ∑xi0 * xim = ∑yi xi 0b0 ∑xi1 xi0 + b1 ∑xi21 + ... + bm ∑xi1 * xim =∑yi xi1

b0 ∑xim xi0 + b1 ∑xim xi1 + ... + bm ∑xim2 =∑yi xim

Розв’язавши систему лінійних рівнянь отримаємо МНК-оцінки множинної b0 , b1 ,.., bm .

Обчислимо надійні зони регресії (довірчі інтервали для математичного сподівання) як

та способи усунення» Мультиколінеарність – це існування тісної лінійної залежності (або сильної кореляції) в

наборі пояснюючих змінних Х1 , Х 2 ,..., Х m .

Наслідки мультиколінеарності:

1.Падає наочність оцінювання, яка виявляється наступним чином:

1.1помилки деяких конкретних оцінок параметрів регресії стають занадто великими;

1.2ці помилки є досить корельовано одна з одною;

1.3дисперсія оцінок параметрів регресії різко збільшується.

7

2. Оцінки параметрів регресійної моделі можуть бути незначущими через наявність

взаємозв’язку між пояснюючими змінними ( Х1 , Х 2 ,..., Х m , де m - кількість пояснюючих змінних).

3.Оцінки параметрів стають досить чутливими до обсягів сукупності спостережень.

1.Інформацію про парну залежність можна отримати із кореляційної матриці, вигляд якої наступний

Явище мультиколінеарності не зводиться до існування лише парної кореляції між пояснюючими змінними. Висновок про присутність або відсутність мультиколінеарності робиться на основі значення визначника кореляційної матриці det(R) [0;1].

1)Якщо det(R) = 0 , то існує повна мультиколінеарність. 2)Якщо det(R) = 1, то мультиколінеарність відсутня. 3)Якщо det(R) → 0 , то існує мультиколінеарність.

2. Якщо в економетричній моделі знайдене мале значення параметра вm в разі високого рівня коефіцієнта детермінації (R 2 ), це також свідчить про наявність мультиколінеарності та ін.

Усі ці методи виявлення мультиколінеарності мають один спільний недолік: жодний із них чітко не розмежовує випадок, коли мультиколінеарність, яку слід вважати „ істотною” та неодмінно враховувати, і випадок, коли мультиколінеарність можна знехтувати.

Алгоритм Феррара – Глобера дозволяє найповніше дослідити мультиколінеарність між пояснюючими змінними. Цей алгоритм містить три види статистичних критеріїв, згідно з якими перевіряється відповідно мультиколінеарність:

а) усього масиву пояснюючих змінних (χ2 – „ хі квадрат”);

б)кожної пояснюючої змінної і рештою пояснюючих змінних (F - критерій); в)кожної пари пояснюючих змінних (t-критерій).

Усі ці критерії при порівнянні з їх критичними значеннями дають змогу зробити конкретні висновки щодо наявності чи відсутності мультиколінеарності пояснюючих змінних.

Перевіримо набір пояснюючих змінних на мультиколінеарність за допомогою алгоритму Феррара – Глобера у випадку трьох пояснюючих змінних Х1 , Х 2 , X 3 .

8

1.4Знайдемо визначник кореляційної матриці, тобто det(R). Якщо det(R) наближається до нуля, то в масиві пояснюючих змінних може існувати мультиколінеарність. Прологарифмуємо визначник матриці R, тобто знайдемо ln[detR].

1.5Обчислимокритерій χ2 за формулою: χфакт2 = - n -1 - 1 (2m + 5) ln (det R) .

6

Знайдене значення χфакт2 порівняємо з табличним значенням χ табл2 . Табличне значення χ табл2

знаходимо за таблицею розподілу Пірсона, коли маємо 1 m(m -1)ступенів вільності та рівень

9

Обчислені критерії порівнюються з табличним значенням Fтабл . Табличне значення Fтабл

знаходимо за таблицями розподілу Фішера, коли маємо n, m ступенів вільності, та при рівні значущості α=0,05. Якщо Fj > Fтабл , то Х j пояснююча змінна мультиколінеарна з іншими.

1.7 Визначимо частинні коефіцієнти кореляції.

Частинні коефіцієнти кореляції показують тісноту зв’язку між двома пояснюючими змінними за умови, що всі інші змінні не впливають на цей зв’язок і обчислюються за

1.8 Визначимо t – критерій.

Ці критерії застосовуються для визначення мультиколінеарності двох пояснюючих

Обчислені t – критерії порівнюються з табличним значенням tтабл . Табличне значення tтабл знаходимо за таблицями t-розподілу, коли маємо (n-m) ступенів вільності та при рівні значущості α=0,05. Якщо tkj > tтабл , то Х k і Х j пояснюючі змінні мультиколінеарні між собою.

Для подальшої побудови якісної множинної регресії необхідно позбутися від мультиколінеарності.

Змістовний модуль №2

Тема 2.1: «Поняття гетероскедастичності, методи визначення та способи усунення»

Явище гомоскедастичності виникає в ситуаціях, коли об’єкти, що спостерігаються однорідні, наприклад при дослідженні роботи однотипних підприємств. Якщо ж досліджуються неоднорідні об’єкти, то виникає проблема гетероскедастичності:

Приклад:Вивчається залежність прибутку фірми від розміру основних фондів. Зрозуміло, що для великих фірм коливання прибутку буде вищим ніж для малих.

Отже, гетероскедастичність стає проблемою, коли значення змінних у рівнянні регресії значно відрізняються в різних спостереженнях. При побудові класичної лінійної регресії одне із передумов побудови було постійність дисперсії залишків. Це явище називається гомоскедастичністю. Якщо ж це припущення не задовольняється і дисперсія залишку змінюється для кожного спостереження або групи спостережень то це явище називається гетескедастичністю.

10