2-lek_ekonometr

Гетероскедастичність призводить до порушення властивостей незміщенності та ефективності оцінок параметрів моделі методом найменших квадратів (МНК).

Для визначення гетероскедастичності використовують наступні методи:

1.Критерій μ ;

2.Параметричний тест Гольдфельда – Квандта;

3.Непараметричний тест Гольдфельда – Квандта;

4.Тест Глейсера.

Розглянемо кожен метод детальніше.

1.Критерій μ .

Цей метод прийнятний тоді, коли вихідна сукупність спостережень досить велика. Алгоритм дослідження гетероскедастичності залишків за μ критерієм.

1.Вектор Y впорядковується за зростанням своїх значень. Значення вектора Y

розбиваються на r груп ( r = 1, k , де k - кількість таких груп ) згідно зі змінною абсолютної величини компонентів.

2.Для кожної створеної групи обчислюють суму квадратів відхилень

Sr = ∑nr (Yir − Yr )2 .

i=1

3.Знайти суму квадратів відхилень у цій сукупності спостережень.

4. Обчислити параметр λ

n – загальна сукупність спостережень;

nr - кількість спостережень в групі r .

5.Обчислити критерій μ .

μ= −2 ln λ , який наближається до розподілу χ 2 при ступенях свободи k − 1, коли

дисперсія всіх спостережень стала. Якщо μ < χ табл2 , то явище гетероскедастичності відсутнє.

2.Параметричний тест Гольдфельда – Квандта.

11

Даний метод визначення гетероскедатичності застосовується до невеликої сукупності спостережень. Гольдфельд і Квандт розглянули випадок, коли дисперсія залишків зростає пропорційно до квадрата однієї з незалежних змінних моделі Y = AX + U .

Алгоритм дослідження гетероскедастичності залишків за параметричним тестом Гольдфельда – Кванта.

3.Непараметричний тест Гольдфельда – Квандта.

Гольдфельд і Квант для оцінювання наявності гетероскедастичності запропонували також використовувати непараметричний тест.

Висновки про наявність гетероскедастичності за тестом робляться на основі графіка залишків після впорядкування спостережень за тією пояснюючою змінною, яка може призводити до гетероскедастичності.

4. Тест Глейсера.

За цим тестом будується регресійне рівняння значень залишків U i від тієї

пояснюючої змінної, яка може призвести до гетероскедастичності, тобто відповідати змінній

Чиста гетероскедастичність зумовлюється лише однією змінною, а змішана – кількома. При чистій гетероскедастичності: a0 = 0, a1 ¹ 0 . При змішаній - a0 ¹ 0, a1 ¹ 0 .

Економетрична модель, в якої спостерігається явище гетероскедастичності, є узагальненою моделлю і для оцінювання її параметрів слід використовувати не метод найменших квадратів (1МНК), а узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена,

або скорочено УМНК).

Ідея УМНК полягає у знаходженні оцінок матриці параметрів В моделі з використанням додатково визначеної діагональної матриці S, за допомогою якої коригується вхідна інформація.

Матриця S має вигляд:

12

Тема2.2: «Автокореляція в економетричних моделях» Автокореляція – це залежність між значеннями однієї вибірки із запізненням в один лаг

(період). Автокореляція залишків виникає тоді, коли дисперсія залишків постійна, але вони залежать між собою. Автокореляція зустрічається тоді, коли економетричні моделі будуються на основі часових (динамічних) рядів. Якщо існує кореляція між послідовними значеннями деякої незалежної змінної, то спостерігається й кореляція послідовних значень залишків. Автокореляція може бути наслідком помилкової специфікації економетричної моделі. Наявність автокореляції залишків може означати, що необхідно ввести до моделі нову незалежну змінну.

Для перевірки наявності автокореляції залишків можна застосувати чотири методи:

1.Критерій Дарбіна-Уотсона.

2.Критерій фон Неймана.

3.Нециклічний коефіцієнт автокореляції.

4.Циклічний коефіцієнт автокореляції.

Розглянемо детальніше використання кожного методу.

1.Критерій Дарбіна-Уотсона може набувати значеня від 0 до 4 і розраховується за формулою

13

Фактичне значення критерію DW порівнюється з табличним для n – числа спостережень, m незалежних змінних та вибраному рівні значимості α .

Табличні значення мають нижню межу DW1, та верхню межу DW2.

Якщо DW < DW1 ( нижня межа) – залишки автокорельвані; якщоDW > DW2 (верхня межа ) – відсутня автокореляція; якщо DW1 < DW < DW2 – не можна зробити висновок (зона невизначеності).

2.Критерій фон Неймана обчислюється за формулою

Значення, що міститься в деякій критичній області поблизу нуля свідчить про відсутність автокореляції.

4.Циклічний коефіцієнт автокореляції.

14

n

економічні процеси, типовим є проявлення впливу деякого фактору (або факторів) на результативний показник через якийсь період часу. Таке явище називається лагом {запізненням). Наприклад, у динамічних моделях необхідно враховувати лаг при встановленні зв'язку між обсягом продукції і капітальними вкладеннями, між затратами виробничих ресурсів і обсягом виробництва, між доходами та витратами і т. д. Лаг може проявлятися не лише через певний період часу, а й протягом кількох часових періодів. У

такому разі маємо справу з економетричною моделлю розподіленого лагу.

Кількісне вимірювання взаємозв'язку між економетричними показниками з використанням динамічної моделі розподіленного лагу може визначатися такою залежністю:

коефіцієнтів a j ( j = 1,2...) називається структурою лага; xt −τ - пояснювальна лагова змінна; t -

час; τ -період зрушення (часовий лаг); ut - залишки, які розподілені за нормальним законом,

тобто мають нульове математичне сподівання і постійну дисперсію.

Моделі розподіленого лагу (1) задовільно описують економічні процеси лише в умовах відносної стабільності, в яких ці процеси відбуваються: стабільність відповідних індексів, процентних ставок за кредити, норм амортизації, термінів будівництва, структури ресурсів і т. ін. Така стабільність не завжди спостерігається для порівняно довгих періодів часу. Ця причина підводить до необхідності побудови узагальненої моделі розподіленого лагу, яка містить не тільки лагові змінні, а й пояснювальні змінні характеристики поточних умов функціонування економічних систем:

де zt ,s - пояснювальні змінні поточних умов; bs - коефіцієнти цих пояснювальних змінних.

Для обгрунтування лагу (або лагів) пояснювальних змінних в динамічних моделях доцільно використовувати взаємну кореляційну функцію. Вона характеризує тісноту

15

зв'язку кожного елемента залежної функції yt , з елементом незалежної змінної xt , зсунутих на часовий лагτ один відносно другого. Значення взаємної кореляційної функції rτ лежать у

маємо кілька часових лагів для взаємопов'язаних часових рядів. Знайшовши часові лаги для визначення взаємозв'язку між економічними показниками, можна побудувати економетричну модель розподіленного лагу.

Наявність мультиколінеарності між лаговими змінними в динамічній моделі ускладнює її побудову. Щоб звільнитись від мультиколінеарності необхідно ввести такі коефіцієнти при лагових змінних, які б мали однаковий знак і для яких можна було знайти суму:

тобто в правій частині з'являється лагова змінна yt −1 .

Припущення, що зробив Л.Койк, приводять до значних спрощень співвідношення (1):

замість оцінки цілого ряду параметрів a j достатньо дати оцінки параметрам w і λ у

рівнянні (6), де yt , розглядається як функція xt і yt −1 .

Окрім схеми Л.Койка, лагову змінну у правій частині мають моделі часткового коригування:

yt = αj + βjxt + (1 − j)yt −1 + ut (7)

і адаптовних сподівань

yt = α (1 − λ ) + β (1 − λ )xt + λyt −1 + ut (1 − λut −1 ) (8)

16

Гіпотеза 3. Залишки описуються авторегресивною схемою першого порядку виду:

vt = ρvt −1 + ε t , ρ > 1. (12)

Для оцінки параметрів моделі можна використовувати:

1.1МНК;

2.метод Ейткена;

3.ітеративний метод;

4.двокрокову процедуру;

5.метод інструментальних змінних;

6.алгоритм Уолліса.

Розглянемо принципову суть цих підходів оцінювання параметрів моделі.

Метод найменших квадратів (1МНК) застосовується тоді, коли вхідні дані перетворені на основі параметрів λ і ρ . Ці параметри вибираються довільно в інтервалі

[0;1]. Для кожної пари λ і ρ послідовно обчислюються залишки. Параметри λ і ρ вибираються доти, поки не буде мінімізована сума відхилень залишків.

Метод Ейткена оцінює параметри моделі на підставі матриці параметрів

17

Цей метод аналогічний оцінкам 1МНК для моделі

(yˆ t − ρyt −1 ) = a0 (1 − ρ ) + a1 (yt −1 − ρyt −2 )+ a2 (xt − ρxt −1 ) + ε t (16)

Відносно перетворених даних.

Ітеративний метод є альтернативою до методу Ейткена і його алгоритм базується на чотирьох кроках, які розглянемо на прикладі моделі

yt = a0 (1 − ρ ) + (a1 + ρ )yt −1 − a1 ρyt −2 + a2 xt − a2 ρxt −1 + ε t (17)

Крок 1. Вибирається початкове значення коефіцієнта ρ = ρ1 і підставляється в рівняння (17).

Крок 2. Мінімізуєтся сума квадратів залишків рівняння і в результаті застосування 1МНК

18

Метод інструментальних змінних, використовується тоді, коли залишки не автокорельовані, але існує залежність пояснювальних змінних із залишками. Якщо,

наприклад, модель має вигляд yt = a0 + a1 xt + a2 xt −1 + a3 yt −1 + ut , то можна замість змінної

yt −1 , яка за припущенням не корельована із пояснювальними змінними, використовувати як

інструментальну змінну yˆ t −1 , що розраховується за допомогою 1МНК як функція

yˆ t −1 = f (xt ).

Оцінка параметрів моделі з лагом на основі алгоритму Уолліса складається з трьох етапів.

На першому етапі оцінка параметрів виконується на основі метода інструментальних

змінних, де xt −1 , використовується як інструментальна змінна для yt −1 .

На другому етапі обчислюють коефіцієнт автокореляції r з урахуванням поправки на зміщення.

Змістовний модуль №3

Тема3.1: «Система одночасних структурних рівнянь» Економічні процеси і явища характеризуються складною системою зв'язків між

чинниками. Ці зв'язки в ряді випадків слід описувати моделями, які побудовані на основі системи рівнянь. Оскільки найчастіше вони характеризують економічні процеси і явища, які відбуваються одночасно, то всі ці рівняння мають спільний зв'язок і називаються системою одночасних (симультативних) структурних рівнянь. Наведемо два приклади таких економетричних моделей, які використовуються для кількісного взаємозв'язку показників на макро- і мікрорівні.

Так, залежність обсягу національного доходу від основних виробничих фондів, робочої сили і матеріальних ресурсів відповідає економетричній моделі на основі системи одночасних структурних рівнянь, яку наведемо у загальній формі:

матеріальні ресурси; Yt - валовий внутрішній продукт; ut , vt - залишки; t - період часу.

19

Зміннні X, і М, виражаються через параметри ai та bi які підлягають знаходженню. Два перших рівняння системи є регресійними, а третє - тотожність.

Взаємозв'язок темпів зниження собівартості продукції на підприємстві з темпами росту продуктивності праці та підвищенням заробітної плати можна визначити на основі економетричної моделі, яка також описується системою одночасних структурних рівнянь:

де Тс - індекс зниження собівартості продукції; Тn - темпи росту продуктивності праці; Т3 - темпи росту заробітної плати; u -залишки; kl - рівень співвідношення між темпами зміни собівартості продукції і заробітної плати.

Змінні Тn і Тз , виражаються через розшукувані параметри. Модель містить два рівняння, одне з них є регресійними, а друге - тотожність.

Розглянуті моделі (1) та (2) є найпростішими. Вони можуть бути доповненими лаговими змінними.

Узагальнюючи розглянуті моделі та розповсюджуючи їх на інші приклади, можна сказати, що взаємозв'язки між змінними можуть бути стохастичнимц і описуватися регресійними рівняннями та детермінованими і відповідати тотожностям.

Системи одночасних структурних рівнянь найчастіше включають лінійні рівняння, а нелінійність зв'язків здебільшого апроксимується лінійними співвідношеннями. Динаміка зв'язків між показниками враховується за допомогою часових лагів або лагових змінних.

Система одночасних рівнянь у матричній формі може бути записана у вигляді: Y= AY + BX + u, (3)

де Y - матриця (вектор) залежних змінних; X - матриця незалежних змінних; u - матриця залишків; А - матриця коефіцієнтів при змінних Y розміром к*к; В - матриця коефіцієнтів при змінних Х розміром к*t.

Економетрична модель відображає структуру зв'язків між змінними і тому називається структурною формою економетричної моделі.

Якщо кожне рівняння системи (3) розв'язати відносно Y, то одержимо зведену форму моделі, яка має вигляд:

Y= RX + v, (4)

де v - лінійна комбінація залишків u; R - матриця оцінок параметрів, якої за допомогою одиничної матриці Е можна надати вид

R = (E-A)-1B. (5)

20