Алгебра множеств (алгебра Кантора)

Алгебра Кантора <B(I),,,->, носителем которой является булеан универсального множестваI, сигнатурой - операции объединения, пересеченияи дополнения -.

Для операций алгебры Кантора выполняются следующие законы:

коммутативности объединения и пересечения:

М_аМ_в= М_вМ_а, М_аМ_в= М_вМ_а;

ассоциативности объединения и пересечения:

М_а(М_в М_с) = (М_аМ_в) М_с, М_а(М_вМ_с) = (М_аМ_в)М_с;

дистрибутивности пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения:

М_а(М_в М_с) = (М_аМ_в) (М_аМ_с),

М_а(М_вМ_с) = (М_аМ_в)(М_аМ_с);

идемпотентности объединения и пересечения:

М_аМ_а= М_а, М_аМ_а= М_а;

де Моргана

,;

двойного дополнения

.

Выполнимы также следующие действия с универсальным Iи пустыммножествами:

М = М, М=, МI = I,

М I=М, М=I, М=.

Алгебра Кантора по аддитивной операции объединения и мультипликативной операции пересечения является абелевой полугруппой, так как для этих операций выполняются законы коммутативности и ассоциативности, но она не является группой, поскольку уравнения М_аХ = М_в, М_аХ = М_в не имеют решения, например, для случая, когда множества не пересекаются: М_аМ_в=. Поэтому алгебра Кантора по двухместным операциямине является кольцом. Эта алгебра принадлежит к другому классу фундаментальных алгебр - к классу решеток, который рассмотрен ниже.

1.6.2. Алгебраические системы. Решетки

Выше рассматривались алгебры, т.е. множества, на которых заданы операции.

Множества, на которых кроме операций заданы отношения, называются алгебраическими системами. Таким образом, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем. Другим частным случаем алгебраических систем являютсямодели- множества, на которых заданы только отношения.

Рассмотрим пример алгебраической системы, который наиболее часто встречается в теоретической алгебре и ее применениях. Этот пример - решетка.

Рассмотрим алгебраическую систему из множества М, отношения порядка (будем обозначать ) и некоторых операций. Говорят, что множество М линейно упорядочено, если любые два элемента находятся в отношении упорядоченности, иначе - частично упорядочено. Для элементов а и в из М их верхней гранью (мажорантой) называется любой элемент сМ такой, что са, св, а их нижней гранью (минорантой) - любой элементdМ такой, чтоdа,dв. В общем случае для некоторых элементов а и в верхняя или нижняя грань может не существовать или быть неединственной, причем различные верхние (или нижние) грани могут быть несравнимыми. Во множестве верхних и нижних границ вводится понятие точной верхней (нижней) границы множества.

Такая верхняя граница множества обозначается supМ ("супремум"), такая нижняя граница - обозначаетсяinfМ ("инфинум").

Частично упорядоченное множество называется решеткой, если у каждой пары его элементов а,в необходимо имеются единственная точная верхняя граница sup(а,в) или пересечение ав и точная нижняя границаinf(а,в) или объединение ав. Здесь операции,пока понимаются как абстрактные операции алгебраической системы и отличаются от теоретико-множественных операций объединения и пересечения. Для алгебры множествсоответствует,соответствует).

Рассмотрим пример частично упорядоченного множества - диаграмму (решетку) Хассе, известную с конца XIXвека и применяемую в генеалогии для задания родства (рис.1.8).

Рис.1.8. Диаграмма (решетка) Хассэ для множества всех

подмножеств универсального множества I={y,x,z}

На рис.1.8 множество всех подмножеств данного множества упорядочено по отношению включения, а операции объединения и пересечения элементов связаны дистрибутивными законами. Нулем и единицей частично упорядоченного множества называются, соответственно, его наименьший и наибольший элементы, обычно применяются традиционные обозначения 0, 1.

Так, для рис.1.8 нулем и единицей будут, соответственно, пустое множество и данное множество (I).

В частично упорядоченных множествах с нулем и единицей вводится операция дополнения элементов.

Элементы а и в частично упорядоченного множества с нулем 0 и единицей 1 называются дополнительными друг для друга, если их пересечение равно нулевому элементу 0, а объединение дает единичный элемент 1: а в = 0, ав = 1.

Так, {y}{x,z}=, {y}{x,z}=Iдля рис.1.8.

Дистрибутивная решетка с отличными друг от друга нулем и единицей, в которой каждый элемент имеет дополнение, называется булевой алгеброй.

Пример булевой алгебры - совокупность множества всех подмножеств данного множества и теоретико-множественных операций объединения, пересечения и дополнения, т.е. алгебра Кантора (алгебра множеств), рассмотренная выше. Операция объединения и пересечения являются бинарными, а операция дополнения унарной.

Далее мы рассмотрим другой пример булевой алгебры - булеву алгебру логических функций.