7.2. Логическое следование

Когда говорят, что одно предложение Р₂ следует из другого предложения Р₁, то имеют в виду следующее: всякий раз, когда истинно предложение Р₁, истинно и предложение Р₂. В логике высказываний это означает, что для соответствующих формулF₁иF₂нет такого набора значений переменных, при которомF₁истинна, аF₂ложна. Например, из предложения "Я заступаю в патруль" следует предложение "Я заступаю в патруль или в караул", так как для соответствующих им формул х и хÚyневозможен набор значений, при котом первая формула истинна, а вторая ложна: если х принимает значение 1, то согласно определению дизъюнкции хÚyтакже принимает значение 1.

Говорят, что из формулы F₁следует формулаF₂, еслиF₁®F₂- тавтология (тождественно истинная формула). Действительно, импликация, как было показано выше, ложна тогда, когдаF₁=1, аF₂=0.

Можно показать, что если из формулы F₁следует формулаF₂, то множество рабочих наборов соответствующейF₁булевой функцииf₁является подмножеством рабочих наборов булевой функцииf₂, соответствующейF₂. Предполагается, что рабочие наборы определены для общего набора переменных.

Следование, как и равносильность, есть отношение между формулами. Отношение следования обладает свойствами рефлексивности и транзитивности, но не обладает свойством симметричности.

Для того, чтобы доказать, что из формулы F₁не следует формулаF₂, достаточно найти такой набор входящих в эти формулы переменных, при котором первая формула принимает значение 1, а вторая - 0.

Рассмотрим примеры 1) Следует ли из формулы (х®y)х формулаy?

Необходимо показать, что (х®y)х®y.

Представим импликацию х®yв видеÚy:

.

Таким образом, из формулы (х®y)х следует формулаy.

2) Следует ли из предложения "Если курсант много занимается, то он успешно сдает экзамены" предложение "Курсант, провалившийся на экзамене, занимался мало".

Формулируем первое предложение: х®y, второе:.

Тогда

(х ®y)®() =

= =

=

Таким образом, следует. Второе высказывание не всегда истинно, поскольку не всегда истинно первое высказывание. Очевидно, что этот пример еще раз иллюстрирует закон контрапозиции: (х®y)«().

Рассмотрим теперь как по форме (структуре) высказываний, последовательность которых выражает некоторое рассуждение, определить, правильно это рассуждение или нет.

Будем называть аргументом совокупность высказываний, про одно из которых, называемое заключением, говорят, что оно следует из остальных, называемых посылками (посылка, в частности, может быть единственной).

Здесь "аргумент" - это не переменная, от которой зависит функция, а некоторая форма, структура, определяющая правильность рассуждений (говорят "аргументированное" предложение, выступление).

Примеры аргументов: 1) "Если множество простых чисел конечно, то существует наибольшее простое число. Наибольшего простого числа не существует. Следовательно, множество простых числе бесконечно".

2) "Все люди смертны. Сократ - человек. Следовательно, Сократ - смертен".

Выводя заключение из некоторой совокупности посылок, мы считает, что если все посылки истинны и рассуждение правильно, то заключение должно быть истинно. Исходя из этого, аргумент называется правильным, если из конъюнкции его посылок следует заключение.

Поэтому, чтобы установить, является ли аргумент правильным, необходимо а) формализовать все посылки и заключения; б) составить конъюнкцию формализованных посылок (высказываний); в) проверить, следует ли из полученной формулы формула, соответствующая заключению. Если следует, то аргумент - правильный, если же нет, то аргумент - неправильный.

При записи аргументов над горизонтальной чертой записывают посылки, а под ней - заключение. Например, формализуем аргумент "Если четырехугольник ABCD- ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. ЧетырехугольникABCD- ромб. Следовательно, его диагонали перпендикулярны":

.

Таков же аргумент из примера 2.

Как мы убедились выше, этот аргумент - правильный: (х®y) x®y = (Úy)x®y = .

Аргумент "Если 10 делится на 3, то 100 делится на 3; 10 делится на 3, следовательно, 100 делится на 3" имеет такой же вид. Несмотря на то, что этот аргумент правильный, заключение (100 делится на 3) ложно, поскольку посылки ложны. Истинность всех посылок правильного аргумента является достаточным условием истинности его заключения.

Рассмотрим аргумент "Если 10 - четное число, то 100 - четное число; 100 - четное число, следовательно, 10 - четное число".

Соответствующая формализация имеет вид:

.

Проверим его правильность: (х ®y)y®x=(Úy)y®х= =.

Следовательно, аргумент неправильный. И это несмотря на то, что в нем истинны и посылки и заключение. Дело в том, что истинность заключения не вытекает из истинности посылок. Рассуждая по этой схеме можно получить ложное заключение. Например, из посылок "Если я хорошо занимаюсь, то сдаю экзамен" "Я сдал экзамен" не следует, что я хорошо занимаюсь.

Итак, истинность всех посылок правильного аргумента гарантирует истинность заключения, в неправильном аргументе с истинными посылками заключение может быть как истинным, так и ложным.

Правильным аргументом является и аргумент вида

.

Проверим это: (х ®y)=(Úy)== .

Аргумент вида

.

Неправильный: (х ®y)=(Úy)== .

Таким образом, рассуждение "Если я много занимаюсь, то сдаю экзамен. Я не сдал экзамен, следовательно, я мало занимался" правильное, а рассуждение "Если я много занимаюсь, то сдаю экзамен. Я мало занимаюсь. Следовательно, я не сдаю экзамен" - неправильное.