106

7. Логическое следование

7.1. Закон контрапозиции

Теоремы, знакомые каждому со школьного курса, часто сформулированы в виде высказываний, использующих импликацию "если ...то", т.е. речь идет о высказываниях вида а®в.

Для каждого такого высказывания можно составить высказывание в®а, которое называетсяобратнымданному (а®в). Однако, не для всякой теоремы предложение, ей обратное, является теоремой. Пусть, например, даны две теоремы: "Если два квадрата равны, то их площади равны"; "Если два прямоугольника равны, то их площади равны". Высказывание, обратное первой теореме "Если площади квадратов равны, то они равны", является теоремой. Высказывание, обратное второй теореме "Если площади двух прямоугольников равны, то они равны", не является теоремой. Таким образом, высказывание а®в и в®а неравносильны. В этом можно убедиться, используя таблицу истинности:

Табл.7.1

а	в	а®в	в®а
0	0	1	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	1	1	1

Таким образом, если доказана истинность какого-либо высказывания-импликации, то обратное ему высказывание требует также доказательства.

Поэтому образно можно сказать, что не права Алиса - героиня известной сказки "Алиса в стране чудес", написанной английским математиком Чарльзом Доджсоном (под псевдонимом Льюис Кэролл), утверждавшая, что говорить то, что думаешь и думать то, что говоришь - одно и то же.

Для всякого высказывания-теоремы а®в можно составить высказывание, которое называетсяпротивоположным.

Высказывание, противоположное данной теореме, может быть теоремой, но может ею не быть. Убедимся в этом с помощью таблицы истинности.

Табл.7.2

а	в	а®в
0	0	1	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	1	1	1

Эта таблица 7.2 совпадает с таблицей 7.1. Действительно, импликацию а®в можно выразить в виде дизъюнкцииÚв, что можно проверить по таблице истинности: импликация ложна (=0), если только а=1, а в=0.

Подставляя эти значения истинности в формулу Úв получаемÚа=0.

Поэтому в®а =Úа, а==Úв =Úа.

Рассмотрим теорему Пифагора, сформулированную в виде импликации: "Если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы".

Противоположная теорема: "Если треугольник не является прямоугольным, то сумма квадратов катетов не равна квадрату гипотенузы".

Высказывание являетсяобратно-противоположнымвысказыванию а®в. Имеет место следующая равносильность:

а®в =.

Действительно, а®в =Úв,== вÚ=Úв.

Такая равносильность в математической логике называется законом контрапозиции. Согласно этому закону 1) высказывания а®в,одновременно истинны либо одновременно ложны; 2) высказывание, обратно-противоположное какой-либо теореме, также является теоремой; 3) вместо данной теоремы можно доказывать обратно-противоположную ей теорему.

Пусть, например, требуется доказать утверждение "Если m²нечетно, чтоmнечетно". Сформулируем и докажем обратно-противоположную теорему: "Еслиmчетно, тоm²четно".

Действительно, если mчетно, тоm=2р, где р - натуральное число, следовательноm²=4р²=2(2р²)=2q, т.е.m²четно.

Теорема, обратно-противоположная данной, доказана; следовательно, доказано и данное утверждение.

Как мы убедились выше, высказывание, обратное данному (в®а) и противоположное данному, равносильны, т.е. одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Поэтому из двух высказываний - обратного данной теореме и ей противоположного - достаточно доказать или опровергнуть какое-либо одно; тем самым будет доказано или соответственно опровергнуто второе.

Если высказывание а®в - теорема, то говорят, что а естьдостаточное условиев, а в -необходимое условие а.

Если оба взаимно-обратных высказывания а®в и в®а - теоремы, т.е. а«в - теореме, то в является одновременно необходимым и достаточным условием а, а а - необходимым и достаточным условием в.

Если а®в - теореме, а в®а теоремой не является, то а - достаточное, но не необходимое условие в, а в - необходимое, но не достаточное условие а.

Теорема "Если два прямоугольника равны, то их площади равны" в виде необходимого условия формулируется следующим образом: "Необходимым условием равенства прямоугольников является равенство их площадей".

В виде достаточного условия: "Достаточным условием равенства площадей прямоугольников является их равенство".

Часто в математических определениях не используются союзы "тогда и только тогда, когда", но они подразумеваются.

Например, в определении "Параллелограмм называется ромбом, если его смежные стороны равны". Ясно, что это соответствует высказываниям 1) "Если параллелограмм - ромб, то его смежные стороны равны"; 2) "Если смежные стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм - ромб".

Таким образом, в определении подразумевается эквиваленция: "Параллелограмм - ромб тогда и только тогда, когда его смежные стороны равны".

Условность соглашения об истинности эквиваленции, утверждаемой определением, в словесной формулировке подчеркивается словом "называется".

Если определение записано с использованием символа эквиваленции «, то над ним пишетсяdfот латинскогоdefinitio, что значит "определение".

Если через а обозначить высказывание "Параллелограмм - ромб", а через в - "Смежные стороны параллелограмма равны", то определение ромба, сформулированное выше, запишется так:

,

т.е. а тогда и только тогда, когда в по определению.