Мы показали, что напряженность связана с
потенциалом |
|
|
|
E |
dφ |
, |
тогда dφ Edl |
dl |
(6.1.1) |
||
|
E |
σ |
|
|
где |
ε0 |
– напряженность |
||
|
электростатического поля между заряженными плоскостями
σ = q/S – поверхностная плотность заряда.
Чтобы получить выражение для потенциала
между плоскостями, проинтегрируем |
|
|||||||||||||||
выражение |
dφ Edl |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
σ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dφ |
|
2 dx; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
φ |
2 |
φ |
|
σ |
|
x |
2 |
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
ε0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При x1 = 0 и x2 |
= d |
|
φ |
2 |
|
φ |
|
σd |
|
(6.1.2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ε0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На рисунке 6.1,б изображена зависимость напряженности E и потенциала φ от расстояния между плоскостями.
φ2 φ1 σd
ε0
Рис. 6.1,б
6. 3.2. Разность потенциалов между точками поля, образованного бесконечно
длинной цилиндрической поверхностью
С помощью теоремы Остроградского-Гаусса мы показали, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 внутри цилиндра, т.к. там нет зарядов |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
λ |
или |
q |
|
на поверхности цилиндра |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
2πε0R |
|
|
2πε0Rl |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
λ |
или |
|
q |
вне цилиндра. |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
2πε0r |
2πε0rl |
||||||
|
|
|
|
|
||||
Тогда, т.к. |
2 |
λ |
|
r |
dr |
|
|
|
|||||
|
dφ |
2 |
||||
dφ Edr; |
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
|
2πε |
|
r |
|||
|
1 |
0 r |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
отсюда следует, что разность потенциалов в произвольных точках 1 и 2 будет равна:
2 |
1 |
|
|
ln |
r2 |
|
q |
ln |
r2 |
. |
||||
|
2 0 |
|
2 0l |
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
r1 |
|
r1 |
|||||
|
ln |
const внутри и на поверхности |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
2 0 |
R |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
цилиндра |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ln |
r |
|
вне цилиндра. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 0 |
R |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
1 |
const внутри и на |
|
|
|
|
||
|
2 0 |
R |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
поверхности цилиндра |
||||
|
|||||
|
|
|
ln |
r |
вне цилиндра. |
|
|
2 0 |
R |
||
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.2
6.3.3. Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора
Рис. 6.3
|
0 внутри меньшего |
||
|
|
и вне большего цилиндров зарядов нет |
|
|
|
||
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
между цилиндрами, |
|
2 0r |
||
|
когда R1 r R2. |
||
|
|||
Т.к. |
dφ Edr |
, то |
|
|
||
|
φ |
2 |
φ |
|
λ |
ln r2 |
|
|
|||||
|
|
1 |
|
2πε0 |
r1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
R2 |
||
|
|
|
ln |
|
|
const внутри меньшего |
2 |
|
R |
||||
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
цилиндра (r R ) |
|||||
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
ln |
между цилиндрами (R1 r R2 ) |
|||
2 0 |
|
|||||
|
|
R1 |
||||
|
0 |
|
вне цилиндров. |
|||
|
|
|||||
Таким образом, внутри меньшего цилиндра имеем, Е = 0, φ = const;
между обкладками потенциал уменьшается по логарифмическому закону, вторая обкладка (вне цилиндров) экранирует электрическое поле и φ и Е
равны нулю.
Рис. 6.4
6. 3.4. Разность потенциалов между точками поля, образованного заряженной сферой (пустотелой)
Напряженность поля сферы определяется формулой
E(r) q 2
4πε0r
Рис. 6.5
• А т.к. |
|
|
|
|
dφ Edr |
, то |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
r2 |
|
q dr |
|
q |
|
1 |
|
r2 |
|
q |
|
1 |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
r1 |
4 0 r |
|
|
4 0 |
|
r |
|
r1 |
|
4 0 r1 |
|
r2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
т.е. |
|
|
q |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рис. 6.6