Лекция 4. Вычисление электрических полей с помощью теоремы

Остроградского-Гаусса

4. Вычисление электростатических полей с помощью

теоремы Остроградского - Гаусса

4.1.Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

4.2.Поле двух равномерно заряженных плоскостей

4.3.Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити)

4.4.Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью заряда, но разным знаком

4.5.Поле заряженного пустотелого шара

4.6.Поле объемного заряженного шара

4.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:

σ ddSq ,

dq – заряд, сосредоточенный на площади dS;

dS – физически бесконечно малый участок поверхности.

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями S, расположенными симметрично относительно плоскости

Тогда E' E'' E.

Применим теорему Гаусса. Поток ФЕ через боковую часть поверхности цилиндра равен нулю, т.к. Еn = 0. Для основания цилиндра Еn = Е.

Суммарный поток через замкнутую поверхность

(цилиндр) будет равен:	ФЕ 2 SE.

Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского-

Гаусса получим:

ФЕ q0 ; тогда 2 SE S 10

откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:

		(4.1)
E	σ		.

	2ε	0

4.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей

Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью |σ|

Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей. Тогда внутри плоскостей

E E E отсюда E σ / ε0 (4.2)

Вне плоскостей напряженность поля

E 0.

Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).