38. Независимость двух случайных величин. Необходимое и достаточное условие независимости двух дискретных случайных величин

Случайные величины X,Yназываются независимыми, если независимы любые два события видат.е.- необходимость

Случайные величины X,Yявляются независимыми, если

– достаточность

39. Борелевские множества на плоскости: определения и примеры

Пусть – действительная координатная плоскость, а– точка. Введем в рассмотрение множество.

Множество точек на координатной плоскости называется борелевским, если оно может быть получено из множеств вида применением конечного или счетного числа операций объединения, пересечения и теоретико-множественной разницы. В классе борелевских множеств на плоскости также содержится:

• Вся координатная плоскость

• Множества вида

• Отдельные точки

• Множества вида

А также все множества, получаемые из перечисленных с помощью применения не более чем счетного числа указанных операций.

40. Вероятностное пространство для системы двух случайных величин общего вида. Независимость двух случайных величин общего вида.

Система двух случайных величин X,Yобщего вида определяется заданием вероятностного пространства, в котором:

• Множество элементарных событий состоит из всех событий вида, где (x,y) – точка действительной координатной плоскости

• -алгебра событийSесть множество событий вида, где А – борелевское множество на координатной плоскости

• На Sзадана вероятностная мераP, удовлетворяющая аксиомам теории вероятностей.

Случайные величины X,Yназываются независимыми, если независимы любые два события вида, гдеAиB– любые два борелевских множества на прямой, т.е.

41. Функция распределения двух случайных величин общего вида и её характеристические свойства

– вероятность того, что система случайных величин (X,Y) реализуется точкой в области, множество точек которой имеют абсциссы меньше числа х, а ординаты меньше числаy. ФункцияFназываетсяфункцией распределениясистемы двух случайных величин (X,Y)

1. 

2. – неубывающая функция по каждому из аргументов

3. непрерывна слева по каждому из аргументов

4. удовлетворяет соотношениям

   1. 

   2. 

   3. 

42. Система двух непрерывных случайных величин. Плотность вероятности системы двух непрерывных случайных величин и её свойства

Система случайных величин (X,Y) называется системой непрерывных случайных величин, если её функций распределенияF(x,y) непрерывна при всех значенияхx,y.

Система случайных величин (X,Y) с функцией распределенияF(x,y) имеет плотность вероятности, если существует неотрицательная функциятакая, что

Функция называетсяплотностью вероятности системы случайных величин (X,Y)

Все неравенства можно менять со строгих на нестрогие и наоборот т.к.

Если система непрерывных случайных величин (X,Y) имеет плотность вероятности, то условие независимости этих случайных величин можно записать в виде

Где – безусловные плотности вероятности случайных величин, входящих в систему.

43. Понятие функции случайной величины

Графиком функции fназывается множество

Борелевской функцией называется такая функция f, графиккоторой является борелевским множеством на плоскости.

Пусть – данная система случайных величин,– данная борелевская функция. Будем говорить, что случайная величинаYесть функцияfот случайной величиныXи записывать этот факт в виде, еслит.е.

44. Задача отыскания закона распределения заданной функции заданной случайной величины

Пусть B– борелевское множество на прямойR, тогда

Так как имеем

И так как

То

Таким образом

Однако

Где

Поэтому

Определив получим

– функция распределения случайной величиныY

45. Первая форма неравенства Чебышева

Пусть Х – случайная величина, такая, что , тогда

Доказательство

46. Вторая форма неравенства Чебышева

Пусть X– случайная величина,M[X]=m– математическое ожидание,– дисперсия. Введем в рассмотрение событие. Тогда

Доказательство

– противоположное событие

47. Теорема Чебышева

Пусть – независимые случайные величины такие, что из математические ожидания одинаковы:, а дисперсии ограничены сверху:.

Пусть , Тогда

Доказательство

1. 

2. 

3. 

48. Теорема Бернулли

Пусть – число успехов в схеме Бернулли с параметрами (n,p). Тогда для любого

Доказательство

– независимые свободные переменные, где– количество успехов в испытании Бернулли.

В условиях теоремы Чебышева

49. Центральная предельная теорема

Закон распределения суммы большого числа случайных величин при весьма общих условиях близок к нормальному закону распределения.

Пусть – независимые случайные величины, имеющие конечные математические ожиданияи конечные дисперсии

Пусть

И выполнено следующее условие: можно подобрать такое , что

50. Точечные оценки неизвестных параметров закона распределения случайной величины: определение, состоятельность, несмещенность, эффективность

Статистика , дающая представление о величине неизвестного параметра, называется точечной оценкой неизвестного параметра.

Оценка называется состоятельной, еслиона сходится по вероятности к оцениваемому значению параметра, т.е.

Оценка называется несмещенной, если её математическое ожидание совпадает со значением неизвестного параметра, т.е.

Оценка называется эффективной, если она обладает наименьшей дисперсией.

51. Состоятельные и несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины

– состоятельная оценка математического ожидания

– несмещенная оценка

– состоятельная и несмещенная оценка

52. Состоятельная и несмещенная оценка для вероятности события

Оценка называется состоятельной, если дляона сходится по вероятности к оцениваемому значению параметра.

Оценка называется несмещенной, если её математическое ожидание совпадает со значением неизвестного параметра

53. Доверительный интервал

Доверительным интервалом для неизвестного параметра называется интервал со случайными концами, зависящими от данных наблюдений за случайной величиной Х, для которого известна вероятность накрытия им значения неизвестного параметра.

54. Построение приближенного доверительного интервала для неизвестной вероятности

Пусть , где– независимые случайные величины.

Так как , то,

Если nдостаточно велико, то в силу центральной предельной теоремы закон распределения случайной величиныбудет близок к нормальному закону распределения с,.

Для введем в рассмотрение событие, где– функция распределения нормального закона распределения

Возьмем теперь достаточно близкое к 1 значение вероятности накрытия интервалом со случайными концамиЗначения неизвестного параметра неизвестного параметраpи составим уравнение

Пусть – корень этого уравнения, разрешенного относительно аргумента функции, тогда имеем, откуда. Следовательно, интервал со случайными концаминакроет неизвестный параметрpс заданной вероятностью, т.е. будет доверительным интервалом дляp.