1. Случайные события. Опыт со случайными исходами. Элементарные события. Соотношения между событиями.

Случайное событие – явление, которое может или не может произойти при осуществлении некоторого комплекса условий. Обозначается

Опыт со случайными исходами– всякое осуществление комплекса условий, при котором изучается случайное событие.

События одного типа данного опыта в условиях опыта со случайными исходами являются элементарными , совокупность всех элементарных событий данного опыта назовем пространством элементарных событий данного опыта со случайными исходами.

События другого типа в условиях данного опыта со случайными исходами называются составными, представляемыми в виде некоторой совокупности элементарных событий данного опыта.

Соотношения:

• Включение: Если при каждом проведении опыта , при котором происходит событиеA, происходит иB, то А влечет за собой В,

• Эквивалентность: если при каждом проведении опыта S, оба событияAиBнаступают или не наступают, т.е., значит А эквивалентно В,.

• Пересечение: события, состоящие в наступлении обоих событий А и В, будем называть пересечением и обозначим .

• Объединение: событие, состоящее в наступлении хотя бы одного события А или В, будем называть .

• Разность: событие, состоящее в наступлении А и ненаступлении В.

• Достоверность: Событие называется достоверным, если оно происходит при каждом проведении опыта S.

• Невозможное: событие называется невозможным, если оно не может наступить ни при одном проведении опыта S.

• Несовместные: события называются несовместными, если ни при одном проведении опыта S, их совместное появление невозможно, т.е.

• Полная группа событий: события образуют полную группу событий, если при каждом проведении опытаSхотя бы одно из них обязательно произойдёт.

• Полная группа попарно несовместных событий: события образуют полную группу попарно несовместных событий, если при каждом проведении опытаSпроизойдет только одно событие данной группы.

• Противоположные события: два события называются противоположными, если они составляют полную группу несовместных событий.

2. Алгебра и-алгебра событий

Пусть – произвольное пространство элементарных событий,S– определенная система случайных событий – определенная система подмножеств множества.

Система случайных событий Sназываетсяалгеброй событий, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. 

2. Если , то

Для любой алгебры событий Sизиследует

Система случайных событий Sназывается-алгеброй событий, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. S – алгебра событий

2. Если – не более чем счетное множество событий изS(т.е.), то

Для любой -алгебры событийSизследует

3. Классическое определение вероятности

Пусть

• – конечное пространство элементарных событий опытаS.

• –-алгебра событий

• – пространство элементарных событий.

Тогда если все nэлементарных событий конечного пространства событийравновозможны, а событиеAсостоит изmэлементарных событий, то

Свойства:

1. 

2. 

3. Если

4. Вероятность события , противоположного событию, равна

5. Для невозможного события

6. Если , то

7. Для любого события

4. Геометрическое определение вероятности

Представим пространство элементарных событий в виде множества точек, образующих пространство G.

Случайное событие А – (подмножество пространства элементарных событий) – подобласть gобластиG.

Пусть для g,Gопределена мераmes(длина для, площадь для, объем для).

Выскакивание – появление некоторых точек в G

Свойства

1. Вероятность выскакивания А пропорциональна mes(A)

2. Вероятность выскакивание не зависит от формы и расположения внутри G