27. Закон распределения Пуассона

Дискретная случайная величина подчиняется закону распределения Пуассона, если таблица её возможных значений и соответствующих им вероятностей имеет вид

0	1	…	K	…
		…		…

Покажем, что

Математическое ожидание

Дисперсия

28. Борелевские множества на прямой: определения и примеры

Пусть R– действительная числовая ось, точка.

Введем множество . Множество точек на числовой оси называется борелевским, если оно может быть получено из множеств видаприменением конечного или счетного числа операций объединения, пересечения и теоретико-множественной разности. Класс борелевских множеств весьма широк. В этом классе содержатся:

• Вся числовая ось

• Множества вида

• Множества вида

• Отдельные точки

• Множества вида

• Множества вида

• Множества вида

• Множества вида

А также все множества, получаемые из перечисленных с помощью применения не более чем счетного числа указанных операций.

29. Вероятностное пространство на прямой: определения и примеры

Случайная величина общего вида определяется заданием вероятностного пространства

• – состоит из событий вида, где Х – точка действительной числовой оси

• – множество всех подмножестввида, гдеA– борелевское множество наR

• На SзаданаR, удовлетворяющая всем аксиомам

30. Функция распределения для случайной величины общего вида и её характеристические свойства

Для произвольного числа xвведем в рассмотрение случайное событиеи вероятность этого события.

– функция распределения случайной величины Х.

F(x) – вероятность того, что случайная величинаXпримет значение меньшее, чем х.

1. – неубывающая функция

2. 

3. непрерывна слева, т.е.

Для задания случайной величины достаточно задать её функцию распределения вместо всего вероятностного пространства , определяющего эту случайную величину.

31. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности и её свойства.

Случайная величина Х называется непрерывной, если её функция распределения F(x) непрерывна при всех значениях х.

Неотрицательная, всюду определённая функция , удовлетворяющая условию нормировки

И такая, что любого х функция распределения непрерывной случайной величины Х есть

Называется плотностью вероятностинепрерывной случайной величины Х.

1. 

2. 

3. 

4. во всякой точке непрерывности х

5. 

6. 

32. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Пусть Х – непрерывная случайная величина, имеющая плотность вероятности .

– математическое ожидание непрерывной случайной величиныX, если сходится интеграл

1. , c – const

2. , c – const

3. , если сходится интеграл, где– правильная функция. Функция называется правильной, если для любого промежуткамножествоесть объединение не более чем счетного числа промежутков.

– дисперсия непрерывной случайной величины Х, если сходится

1. 

2. , c – const

3. , c – const

4. 

– среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины

1. 

2. 

3. 

33. Равномерный закон распределения

Случайная величина Х подчиняется равномерному закону распределения на отрезке , если её плотность вероятности имеет вид

Значение с определяется из условия нормировки

34. Экспоненциальный закон распределения

Случайная величина Х подчиняется показательному (экспоненциальному) закону распределения, если её плотность вероятности имеет вид

35. Нормальный закон распределения

Случайная величина Х подчиняется нормальному закону распределения, если её плотность вероятности имеет вид

Где aи– параметры нормального закона распределения.

36. Система двух дискретных случайных величин: закон распределения

Пусть – система дискретных случайных величин- возможные значения Х,- возможные значенияY.

В результате проведения опыта каждая из случайных величин примет одно из своих значений, т.е.

Таким образом, система 2х дискретных случайных величин может быть задана таблицей вида

		…		…
		…		…
…	…	…	…	…
		…		…
…	…	…	…	…

Такую таблицу будем называть законом распределения двух случайных величин X,Y

37. Система двух случайных величин: безусловные и условные законы распределения случайных величин, входящих в систему. Уравнение регрессии.

Безусловный закон распределения случайной величины Х

Безусловный закон распределения случайной величины Y

Условный закон распределения случайной величины Y, при условии, что случайная величина Х примет значение(i– фиксированное)

Условный закон распределения случайной величины Х, при условии, что случайная величина Yпримет значение(j– фиксированное)

– условное математическое ожиданиеYпри условии, чтоXпримет значение

– условная дисперсияYпри условии, чтоXпримет значениеx.

– условное среднеквадратичное отклонениеYпри условии, чтоXпримет значение

– условное математическое ожидание Х при условии, чтоYпримет значение

– условная дисперсия Х при условии, чтоYпримет значение

– условное среднеквадратичное отклонение Х при условии, чтоYпримет значение

– уравнение регрессииYнаX

– уравнение регрессии Х наY