Soprotivlenie_materialov / 270800_62 (ПГС)-10-1234-2428 / 11. М.ук.№6

11

Решение

Расчет балки с промежуточным шарниром проведем методом составления поэтажной схемы (рис.9)

этого балка разрезается по промежуточному шарниру (шарнирам) и выделяются основная и подвесные балки.

Основной является та балка, которая может самостоятельно нести внешнюю нагрузку после разрезания по промежуточному шарниру (балка AB на рис.9).

Подвесная же балка не может работать самостоятельно вследствие недостаточности связей, закрепляющих ее от смещения как абсолютно твердого тела (балка BC на рис. 9).

Расчет балок производят отдельно, начиная с подвесных балок. При последующем расчете основной балки, кроме заданных внешних нагрузок, к ней должны быть приложены реакции взаимодействия с подвесными балками.

1.Определение опорных реакций и построение эпюр Q и M подвесной

балки BC (рис.10) a) Определение опорных реакций

Fx =0 HB= 0; HB= 0 .

MB=0 q·3·1,5 + RС ·2+ m =0;

20·4,5 + RС ·2+ 18 =0;

12

Рис.10

Проверка правильности вычисления опорных реакций (сумма проекций всех сил на вертикальную ось z должна быть равна 0)

Fz = RB – q·3+ RС = 24– 20·3 + 36 = 60 – 60=0.

б) Построение эпюр Q и M

I участок 0 x1 2(начало отсчета на левом конце балки)

Q(x1)= RB – qx1 =24– 20x1 ;

Q(0)= 24– 20·0= 24 кН (значение на левой границе участка). Q(2)= 24– 20·2= – 16 кН (значение на правой границе участка);

Поскольку поперечная сила меняет знак в пределах участка, определяем координату, при которой она обращается в нуль:

Q(x0)= 24– 20x0=0; x0=24/20=1,2м;

13

M(x1)= RB x1– q x12 /2 =24 x1– 10 x12 ;

M (0)= 0 (значение на левой границе участка);

M (1,2) = 24·1,2 – 10·1,22= 14,4 кНм;

M (2)= 24·2 – 10·4=8 кНм (значение на правой границе участка).

II участок 0 x2 1 (начало отсчета на правом конце балки);

Q(x2)= qx2= 20x2;

Q(0)= 0 (значение на правой границе участка);

Q(1)= 20·1= 20 кН (значение на левой границе участка).

M(x2)= m – q x22 /2= 18 – 20 x22 /2= 18 – 10 x22 ;

M (0) = 0 (значение на правой границе участка);

M (1)= 18 – 10 =8 кНм (значение на левой границе участка).

Используя полученные результаты, строим в масштабе эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, как показано на рис. 10.

2.Построение эпюр Q и M основной балки AC (рис.11)

Основная балка является консольной, поэтому определять опорные реакции RA, MA не обязательно. Их значения можно установить по эпюрам Q и M, используя правило скачков.

I участок 0 x1 2 (начало отсчета на правом конце балки);

Q(x)= RB = 24 кН;

M(x1) = – RB x1 = – 24 x1;

M(0)= 0; (значение на правой границе участка);

M(2)= – 48 кНм (значение на левой границе участка).

II участок 2 x2 3 (начало отсчета на правом конце балки);

Q(x2)= RB +F=24+20 = 44 кН.

M(x2)= – RB x2 – F( x2–2) = –24 x2 – 20( x2–2) = –44 x2+40;

M (2) =–88+40= –48 кНм (значение на правой границе участка); M (3)= –132+40 = – 92 кНм (значение на левой границе участка).

По полученным значениям строим эпюры Q и M основной балки, как показано на рис.11.

x, м

M,кНм

Рис.11

Окончательный вид эпюр Q и M для заданной балки с промежуточным шарниром показан на рис.12.

3.Подбор сечения балки из прокатной стали по методу допускаемых напряжений

В опасном сечении по нормальным напряжениям (сечение A на рис.12)

Mmax 92кНм=92 10-3 МНм.

Из условия прочности (1) определяем требуемую величину момента сопротивления

15

Эпюра изгибающих моментов

92

48

Рис.12

Вначале проведем подбор двутаврового сечения (рис.13) (для четных схем).

zПо сортаменту прокатной стали ближайшим к Wyтреб является значение момента сопротивления Wy =597 см3 , которое

соответствует двутавру №33.

Итак, для двутавра №33 фактический момент сопро- y тивления Wyфакт 597см3=597·10-6 м3.

Рис.13

Проверяем выполнение условия прочности:

Условие прочности выполняется. Балка недогружена. Выбираем двутавр №33.

Замечание. Метод расчета по допускаемым напряжениям допускает перегрузку балок в пределах 5 %. Т.е. величина перегрузки

Проведем теперь подбор сечения, состоящего из двух швеллеров (рис.14) (для нечетных схем).

Момент сопротивления относительно оси y

Здесь с индексом “шв” обозначается момент инерции и момент сопротивления одного швеллера, а без индекса - момент инерции и момент сопротивления двух швеллеров.

противления одного швеллера должен удовлетворять условию

По сортаменту прокатной стали (прил.2) выбираем швеллер № 27, т.к. его момент сопротивления Wyшв 308 см3, тогда фактический момент сопротивления

Wyфакт 2Wyшв =2·308 см3=616 см3=616·10-6 м3.

Для выбранного сечения проверяем выполнение условия прочности:

Условие прочности выполняется. Выбираем сечение из швеллеров № 27.

17

4. Проверка прочности выбранного сечения по касательным напряжениям

Касательные напряжения ( ) в произвольной точке поперечного сечения определяются по формуле Д.И. Журавского

где Q абсолютная величина поперечной силы (определяется по эпюре поперечных сил);

Syотс абсолютное значение статического момента площади отсеченной

части фигуры;

b(z) толщина поперечного сечения на расстоянии z от оси y; J y осевой момент инерции.

Максимальные касательные напряжения определяются в опасном сечении (Q = Qmax ) в точках поперечного сечения, лежащих на оси y, поэтому b(z)= d для двутавра и b(z)= 2d для двух швеллеров. Отсеченная часть верхняя поло-

сечения из двух швеллеров. ( Sy12 статический момент половины сечения. Для

прокатных профилей эта величина приводится в сортаменте).

Условие прочности по касательным напряжениям записывается в виде

где допускаемое касательное напряжение. Для стальных элементов

= 0, 6 .

В нашем примере опасным сечением по касательным напряжениям является сечение А (рис.12)

Qmax = 44 кН

Из сортамента прокатной стали для двутавра №33 определяем следующие значения:

h=33 см; b=14 см; d=0,7 см; t=1,12 см; Jy=9840 см4; Sy12 339 см4. Проверяем выполнения условия прочности (4)

=21,7 МПа < 0,6 160 МПа=96 МПа.

Условие прочности по касательным напряжениям выполняется.

18

Определяем максимальное касательное напряжение для сечения из двух швеллеров №27. Из сортамента прокатной стали для швеллера №27 определяем следующие значения:

h=27 см; b=9,5 см; d=0,6 см; t=1,05 см; Jy=4160 см4; Sy12 178 см4.

=15,7 МПа < 96 МПа.

Условие прочности по касательным напряжениям для двух швеллеров №27 выполняется.

5а. Построение эпюры нормальных напряжений в опасном сечении балки по нормальным напряжениям

В опасном сечении балки по нормальным напряженииям (сечение A на рис.12) растянуты верхние волокна, поэтому в опасных точках, лежащих на линии 1–1 , напряжение положительное и равно

1-1 = + max = 154 МПа.

В опасных точках, лежащих на линии 3–3, напряжение отрицательное и

равно 3-3 = – max = – 154 МПа.

Используя полученные данные, строим эпюру нормальных напряжений по высоте балки, которая графически изображается наклонной прямой линией (рис.15).

y

Рис.15

19

Для сечения, состоящего из двух швеллеров в опасных точках, лежащих на линии 1–1, напряжение положительное и равно

1-1 = + max = 149 МПа.

В опасных точках, лежащих на линии 3–3, напряжение отрицательное и равно 3-3 = – max = – 149 МПа.

5б. Построение эпюры касательных напряжений в опасном сечении по касательным напряжениям

В опасном сечении балки по касательным напряжениям (сечение A на рис.12)

Qmax = 44 кН.

Из сортамента прокатной стали для двутавра №33 определяем следующие значения:

h=33 см; b=14 см; d=0,7 см; t=1,12 см; Jy=9840 см4; Sy12 339 см4.

При определении касательных напряжений в характерных точках сечения, лежащих на линиях 4 – 4, 2 – 2 и 5 – 5 , двутавр представляется в виде условного двутаврового сечения (рис.16), составленного из прямоугольников. Касательные напряжения в этом случае можно определять по формуле Журавского (3).

Касательные напряжения в точках линии 2 – 2 равны max :2 2 max 21,7МПа.

Для определения касательного напряжения в точках линии 4 – 4 найдем статический момент полки (отсеченная часть сечения) – заштрихованный прямоугольник со сторонами b и t (рис.16):

Syотс Syполка Aполка zcполка ,

где Аполка – площадь полки двутавра;

zcполка – координата центра тяжести полки относительно оси y. Аполка bt =14 см 1,12 см =15,7 см2;

По полученным значениям строим эпюру касательных напряжений по высоте стенки (рис.16).

20