Soprotivlenie_materialov / 270800_62 (ПГС)-10-1234-2428 / 16. М.ук.№11

3

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение процесса потери устойчивости стержней при осевом сжатии и опытное определение величины критической силы

1. НАИМЕНОВАНИЕ УСТАНОВКИ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ОПЫТА

Опыт производится на специальной установке, называемой “Установка для испытания на продольный изгиб стержня”. (Описание этой установки см. ниже, раздел “Порядок проведения работы”).

2. ОБРАЗЕЦ:

а) стальной

Образец представляет собой гибкий стержень длиной 150 см, прямоугольного сечения, изготовленный из стали марки 3 (ст.3)

Форма и размеры поперечного сечения даны на рис.1

б) деревянный

Образец представляет собой гибкий стержень длиной 150 см, прямоугольного поперечного сечения, изготовленный из дерева (характеристики даются преподавателем)

Рис. 1

3.ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Потеря несущей способности центрально-сжатого стержня может произойти не только потому, что будет нарушена прочность материала, но и потому, что стержень под влиянием внешних сил не может устойчиво сохранить ту форму, которая ему была дана при изготовлении, или, как говорят, потеряет устойчивость.

Поэтому для надежной работы конструкций недостаточно, чтобы элементы еѐ были прочны; необходимо, чтобы все элементы конструкций были также устойчивы и при действии нагрузок могли иметь только одну форму равновесия, соответствующую характеру их основной деформации под действием внешних сил.

4

Например, при осевом сжатии стержня имела бы место только деформация продольного укорочения без изгиба. Опыт показывает, что при центральном сжатии существует такая величина силы, при которой, помимо укорочения стержня, возникает возможность искривления (выпучивание) стержня в плоскости наименьшей жѐсткости. Такое состояние отдельного стержня или конструкции в целом, при котором возможно появление нескольких форм устойчивого равновесия, называется безразличным равновесием, а внешняя сила (нагрузка), соответствующая безразличному равновесию, называется критической.

Переход к критическому значению силы Р происходит внезапно. Потерю устойчивости прямолинейной формы сжатого стержня иногда называют “продольным изгибом”, так как искривление (изгиб) стержня возникает под действием продольных сил, и для проверки на устойчивость сохранился термин “проверка на продольный изгиб”.

Этот термин условен, так как здесь речь идѐт не о проверке на изгиб, а о проверке на устойчивость прямолинейной формы стержня.

Формула для определения критической силы Ркр впервые теоретически получена академиком Петербургской Академии наук Леонардом Эйлером в 1744 году в следующем виде:

Ркр= П2 Е Jmin

l20

Формула Эйлера даѐт правильные значения критической силы только в пределах пропорциональности, т.е. когда критическое напряжение ( кр) меньше предела пропорциональности или

пр = П2 Е

Е- модуль Юнга

Вформуле Эйлера: Jmin - минимальный момент инерции поперечного сечения стержня; l0 - так называемая расчетная или приведѐнная длина, которая равна произведению расстояния между опорами стержня l на

некоторый коэффициент , зависящий от способа закрепления концов

стержня, т.е. l0= l

Значения коэффициента

1.Если оба конца стержня закреплены шарнирно (рис. 3, а), то =1; l0=l.

2.Если один конец жѐстко заделан, а другой свободен (рис. 2,б), то =2; l0= (1/2) l.

3.Если оба конца стержня жестко заделаны (рис. 2, в), то =1/2; l0=1/2 l.

5

4.Если один конец стержня жестко заделан, а другой оперт шарнирно

(рис. 2,г), то =0,7; l0=0,7 1.

Рис. 2

Таким образом, Ркр - величина критической силы зависит не только от размеров стержня и его материала, но и от условий закрепления его на опорах.

В нашем опыте концы стержня оперты шарнирно, поэтому =1 Если < пр, то критическая сила считается по формуле Ясинского.

кр= (а - в ) А,

где а, в - постоянные величины.

4. ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ

После тщательного обмера длины и поперечного сечения стального (или деревянного) стержня, этот стержень устанавливается в вертикальном положении с шарнирно-опертыми концами в специальных пазах.

Нагружение стержня осуществляется через рычаг второго рода с осью вращения в точке А (рис. 3). Плечи рычага имеют отношения 1:5 и 1:10, что позволяет значительно уменьшить нагрузку, требующуюся для создания нужной сжимающей силы. Вес длинного плеча рычага (с поддоном) уравновешивается противовесом. Схема установки для испытания на продольный изгиб стержня дана на рис. 3.

6

Рис. 3

При проведении опыта на поддон постепенно без толчков укладываются гири, которые через рычаг создают осевую нагрузку стержня. Для каждого этапа нагружения стержень выводится из прямолинейной формы равновесия (т.е. искривления) путѐм усилия, направленного перпендикулярно оси стержня, создаваемого рукой одного из студентов, выполняющих опыт. При этом в начале опыта искривлѐнная форма стержня самостоятельно сохраняется не может, и после удаления дополнительного усилия стержень возвращается к первоначальной прямолинейной форме. Это явление свидетельствует о том, что стержень находится в состоянии устойчивого равновесия, и действующая нагрузка не достигла своего критического значения. Постепенным увеличением нагрузки достигаем такого еѐ значения, при котором стержень, будучи выведен из прямолинейной формы равновесия, сохранит свою искривленную форму после удаления дополнительной поперечной нагрузки. Следовательно, стержень перейдѐт в состояние безразличного равновесия, и наименьшая наблюдаемая при этом нагрузка будет являться критической силой.

Опыт проводится дважды.

1-й опыт проводится для стального и деревянного стержней при соотношении плеч рычага 1:5, расстоянии между опорами (концами стержня) 1=150 см и расчѐтной длине стержня 10=150 см, т.к. = 1. При этом опыте наблюдается искривление стержня по одной полуволне синусоиды.

2-й опыт проводится для стального стержня при наличии промежуточной опоры в середине длины стержня при соотношении плеч рычага 1:10. Расчетная длина при этом 10=75 см.

7

Полученная при втором опыте для стального стержня критическая сила является не только критической силой для расчѐтной длины стержня, равной 75 см, но вместе с тем является второй критической силой для стержня длиною 150см. Соответствующая второй критической силе форма искривления стержня по двум полуволнам синусоиды может быть наблюдаема благодаря наличию промежуточной опоры.

Величины критических сил в обоих опытах получаются путѐм умножения величины груза на рычаге на соответствующее отношение его плеч (5 или 10).

5.ОБРАБОТКА ЖУРНАЛА ИСПЫТАНИЯ

1.Записывается наименование установки, на которой проводилось испытание стержня.

2.Зарисовывается схема установки.

3.Записывается характеристика испытываемого стержня:

материал, длина, форма и размеры поперечного сечения.

4.Вычисляется площадь поперечного сечения.

5.Определяется наименьший момент инерции.

6.Определяется наименьший радиус инерции.

7.Определяется наименьшая жесткость ЕJmin, Jmin - вычисляется,

аЕ берѐтся из таблиц для ст. 3, обычно принимается Е=2,1 105 кг/см2 затем вычисляется ЕJmin (кг см2), для дерева Е=1*106 кг/см2

8.Проверка применимости формулы Эйлера или Ясинского для

данного случая приводится к проверке величины наибольшей гибкости, так

imin

пр = П2E__

Если пр , то Ркр считается по формуле Ясинского:

Ркр = (а - ) А.

9. После вычисления , если величина будет больше пр теоретическая величина критической силы определяется по формуле Эйлера

Ркр = П2 Е Jmin

8

l20

Ркр определяется для двух случаев: при свободной длине l0 = 150 см для стального и деревянного стержней и при свободной длине l0 = 75 см для стального стержня. После чего сравниваются значения теоретических критических сил с найденными значениями Ркр из опыта.

Затем записываются в журнал величины критических сил, а также разности между теоретическими и опытными значениями критических сил в процентах.

10. Вычисляются критические напряжения (опытное и теоретическое).

кр = Ркр ( МПа )

F

11. Учитывая, что замеры отдельных величин являются неточными, в конце работы производится вычисление погрешности в теоретическом определении критической силы по формуле Эйлера, при свободной длине

l0 = 150 см.

Определение погрешности производится согласно инструкции, данной в приложении.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.В чѐм заключается явление потери устойчивости сжатого стержня?

2.Что называется критической силой и критическим напряжением?

3.Что называется гибкостью стержня?

4.Как влияют жѐсткость ЕJ и длина l стержня на величину силы?

5.Что представляет собой коэффициент приведения длины и чему он равен при различных условиях закрепления концов сжатых стержней?

6.Как устанавливается предел применимости формулы Эйлера?

7.Если сжатый стержень ошибочно рассчитан по формуле Эйлера в области еѐ применимости, опасна ли эта ошибка или она приведѐт к перерасходу материала на изготовление стержня?

8.Какое практическое значение имеет определение критической силы сжатых стержней?

9.Во сколько раз изменится величина критической силы, если при испытании заменить шарнирные опоры стержня на опоры с жѐстким защемлением?

10.Чем объяснить несовпадение теоретических результатов с опытными.

ОТЧЁТ по лабораторной работе

ИСПЫТАНИЕ СТЕРЖНЯ НА ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ

10

МПа

б) при свободной длине l = 0,75 м

6. Журнал испытаний

7.Погрешность в определении критической силы по формуле Эйлера при l=1,5 м

а) абсолютная погрешность измерений:

величины

длины стержня

поперечных размеров стержня.

б) относительная погрешность в определении наименьшего момента инерции;