Soprotivlenie_materialov / 270800_62 (ПГС)-10-1234-2428 / 17.М.ук.№12
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ростовский государственный строительный университет
Утверждено на заседании кафедры сопротивления материалов 3.10.03 г.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по выполнению лабораторной работы по сопротивлению материалов
«ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ БАЛКИ ПРИ
ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ»
Ростов-на-Дону
2004
2
УДК 620.178.32 (076.5)
Методические указания по выполнению лабораторной работы по сопротивлению материалов «Определение перемещений балки при плоском изгибе». – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2004.- 14с.
В методических указаниях рассматриваются вопросы определения опытным путѐм величин прогибов и углов поворота опорных сечений однопролетной балки и сравнение их с теоретическими знаниями.
Составители: к.ф.-м. н., доц. Г.П. Стрельников к. т. н., доц. Б.М. Языев
Редактор Н.Е.Гладких Темплан 2004г., поз. 115.
ЛР № 020818 от 13.01.99. Подписано в печать |
5.04.04 |
Формат 60x84/16. |
Бумага писчая. Ризограф. Уч.-изд.л. 0,9. |
|
|
Тираж 100 экз. Заказ
Редакционно-издательский центр Ростовскогогосударственногостроительногоуниверситета.
344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162.
Ростовский государственный строительный университет, 2004
3
Цель работы:
Определение экспериментальным путем величин прогибов и углов поворота опорных сечений однопролетной балки и сравнение их с теоретическими значениями. Проверка теоремы о взаимности работ и перемещений
I.Установка для исследования однопролетной балки и принцип ее работы
Установка типа СМ4А (рис. 1) состоит из следующих частей: исследуемого образца 10, основания 1, установленного на четырех регулируемых винтах – ножках 11, подвижной 5 и неподвижной 12 стоек, двух индикаторных стоек 6, двух гиревых подвесов 9 и набора грузов 8.
Рис.1
Исследуемый образец изготовлен из стальной полосы прямоугольного поперечного сечения 7х40 мм (рис.2) и установлен на шарнирных опорах.
Неподвижная стойка закреплена винтами к основанию и снабжена шарнирной неподвижной опорой, которая состоит из оси, установленной на шарикоподшипниках и стержня для измерения углов поворота опорного сечения образца.
Стержень 4 в нижней части имеет пятку 2, в которую упирается измерительный штырь индикатора.
Исследуемый образец входит в специальный вырез на оси и закреплен к ней прижимной планкой.
4
Подвижная стойка имеет возможность перемещаться по направляющей планке 7, закрепленной к основанию установки, что позволяет регулировать длину пролета в пределах от 700 до 1000 мм, а также получить однопролетную балку с правой консолью.
При необходимости подвижная стойка может быть жестко зафиксирована к направляющей планке с помощью стопора 3.
Перемещение подвижной стойки регистрируется по шкале, закрепленной к основанию установки.
Подвижная стойка снабжена шарнирно-подвижной опорой, которая в отличие от опоры неподвижной стойки имеет возможность поступательного перемещения вдоль оси балки.
Нагружение исследуемого образца осуществляется с помощью двух гиревых подвесов и набора грузов. Нагрузка прикладывается сосредоточенно. При этом имеется возможность изменения точек приложения нагрузки. Определение расстояний от опор до точек приложения нагрузки производится по шкале, нанесенной на образце.
Измерение прогибов и углов поворота опорных сечений образца производится с помощью индикаторов часового типа 13 с ценой деления 0,001 cм. Индикатор для измерения прогибов закреплен к индикаторной стойке и может перемещаться вдоль основания установки по направляющей. Фиксация стойки к направляющей осуществляется с помощью стопора.
Возможность изменения длины пролета, точек приложения нагрузки и ее величины, а также получения однопролетной балки с правой консолью позволяет разнообразить условие задачи в весьма широких пределах.
II. Образец
Стальной брус длиной l 0 1000 мм (100 см) прямоугольного
поперечного сечения 7х40 мм (h=0,7 см; b=4 см), изображенный на рис. 2, установлен на шарнирных опорах
b
h
l 0
Рис. 2
5
III. Основные теоретические положения
Изгибом называется такой вид деформации бруса, при котором внешние нагрузки (сосредоточенные силы и распределенные нагрузки) действуют перпендикулярно к его оси. Прямой брус, работающий на изгиб, называют
балкой.
Изгиб называют поперечным, если в поперечных сечениях балок возникают поперечные силы (Q) и изгибающие моменты (M) .
Если все внешние нагрузки лежат в одной плоскости, называемой силовой, и эта плоскость проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения (y или z), имеет место плоский прямой изгиб.
В настоящей лабораторной работе исследуется балка, находящаяся в состоянии плоского прямого изгиба.
При изгибе балок точки ее оси (x) получают поперечные перемещения или прогибы (v), а поперечные сечения поворачиваются относительно своих нейтральных осей (y) на угол (рис. 3).
z |
|
|
y |
F |
x |
|
||
A |
|
B |
x |
|
v(x) |
|
|
l |
|
|
Рис. 3 |
|
z |
x |
y |
|
Прогибы (v) и углы поворота ( ) часто называют линейными и угловыми перемещениями. Прогиб (v) считается положительным, если он происходит вверх. Угол поворота ( ) считается положительным, если поперечное сечение поворачивается против хода часовой стрелки. На рис. 3 v(x)<0, (x)>0. Прогибы балок измеряются в сантиметрах или миллиметрах, а углы поворота – в градусах или радианах.
Теория деформации балок, излучаемых в курсе сопротивления материалов, основывается на следующих предположениях (гипотезах):
1.Материал балки подчиняется закону Гука ( E );
2.Прогибы балок (v) малы по сравнению с ее длиной, т.е. отношение
наибольшего прогиба f= vmax к длине пролета устанавливается в следующих пределах:
f |
|
1 |
|
1 |
, f –стрела прогиба |
|
|
|
|||
|
200 |
1000 |
3. Углы поворота поперечных сечений не превышают 1
max 1 =0,0175 рад
Тогда для определения прогибов v можно использовать приближенное дифференциальное уравнение
|
|
|
6 |
|
M(x) |
, |
(1) |
|
|||
v (x) |
EI y |
||
|
|
|
где M(х)- величина изгибающего момента в сечении на расстоянии x, E-модуль продольной (нормальной) упругости, I y -осевой момент инерции,
EI y жесткость поперечного сечения балки при изгибе.
Углы поворота поперечных сечений можно принимать равными первой производной от прогиба
v (x)=tg (x) (x) в силу малости углов. |
(2) |
Существуют различные методы решения дифференциального уравнения (1). В курсе сопротивления материалов обычно изучают метод непосредственного интегрирования и метод начальных параметров. Неизвестные постоянные интегрирования (метод непосредственного интегрирования) или неизвестные начальные параметры (метод начальных параметров) определяются из условий закрепления балки (кинематические граничные условия).
Кинематические граничные условия отражают характер закрепления
(опирания) балки и составляются относительно прогибов и углов поворота. Для шарнирно опертой балки (рис. 3) граничные условия характеризуют отсутствие прогибов на опорах: vA=0, vB=0.
Теоретические значения прогибов и углов поворота для балок, изображенных на рис. 4 и 5 могут быть определены по следующим формулам:
|
F |
|
|
F |
A |
|
B |
A |
B |
a |
b |
|
l |
d |
|
l |
|
|
|
Рис. 4 |
|
|
|
Рис. 5 |
а) однопролетная балка длиной пролета l=a+b (рис. 4)
|
|
F |
2 |
|
|
b |
3 |
|
|
|
|
Fa |
2 |
|
2 |
|
|
||
А |
(0) |
|
b |
|
|
|
, |
B |
( ) |
a |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
6EI y |
|
|
|
|
|
|
6EI y |
|
|
|
|
|
|||||
v(x) Fa 2b2 * 6EI y
|
|
x |
|
x |
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
, |
0 |
x a ; |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
a |
b |
b |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
x |
|
( x)3 |
, |
a x ; |
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
b |
|
|
a |
|
|
ab |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
F |
3 |
|
|
x |
|
, |
f |
v |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
48EI y |
|||
|
|
|
|
|||||||
(3)
(4)
(5)
7
б) однопролетная балка с правой консолью (длина пролета l , длина консоли d) (рис. 5)
А (0) Fd
6EI y
v(x) Fd 2 *
6EI y
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B ( ) |
|
Fd |
||
|
|
|
|
|
|
|
3EI y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
x |
|
|
, |
0 x |
l , |
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
x3 |
|
( d)(x )3 |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
d |
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
;
x d .
(6)
(7)
Здесь и далее начало отсчета для координаты x выбирается на левом торце балки.
Теоремы о взаимности работ (теорема Бетти) и перемещений (теорема Максвелла)
1 Рассмотрим балку в двух состояниях: состояние 1 (рис. 6а) и состояние 2 (рис. 6б). Величины прогибов имеют два индекса: первый - показывает направление перемещения (по направлению действия первой или второй силы), а второй – причину, вызывающую перемещение (действие силы F1 или F2).
a |
1 |
|
2 |
|
|
|
б |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
|||||||
|
F1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
v2 |
1 |
v |
2 |
|
l |
|
|
12 |
|
|
|
|
l |
|
Рис. 6
Теорема Бетти о взаимности работ формулируется следующим образом: возможная работа внешних (или внутренних) сил состояния 1 на перемещениях состояния 2 равна возможной работе внешних (или внутренних) сил состояния 2 на перемещениях состояния 1:
F1v12= F2v21. |
(8) |
В частном случае, когда F1=F2=1, на основании (8) получим |
|
соотношение v12=v21 ,выражающее теорему о |
взаимности перемещений |
(теорема Максвелла). |
|
8
IV. Порядок выполнения лабораторной работы
1. Определение жесткости поперечного сечения балки (EIу) экспериментальным путем
Для однопролетной балки с длиной пролета l=100 см, схема которой показана на рис. 7, опытным путем определяем величину прогиба ( f ) посредине пролета. Затем на основании формулы (5), находим жесткость поперечного сечения балки
EI |
|
|
F 3 |
|
y |
48f |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
F |
A |
C |
B |
|
f |
l/2 |
l/2 |
|
l |
Рис. 7
2.Определение экспериментальным путем прогибов и углов поворота поперечных сечений и сравнение их с теоретическими значениями
Для заданной преподавателем расчетной схемы балки типа I (рис.8a) или типа II (рис.8b) опытным путем определяют величины прогибов в заданных сечениях C и D и углы поворота поперечных сечений на опорах А и В
(рис. 8).
a
C F
A
a |
l=l 0 |
б
D |
C |
D |
F |
|
B |
A |
B |
b |
l |
d |
|
l 0 |
|
|
|
|
Рис. 8 |
|
|
Полученные опытные значения прогибов и углов поворота сравнивают с соответствующими теоретическими значениями, расхождения между ними не должны превосходить 5 %, т.е.
δ |
|
vопыт v теор |
100% 5%; |
2 |
|
опыт теор |
|
100% 5% . |
|
|
|
||||||||
|
опыт |
|
опыт |
|
|||||
1 |
|
v |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Проверка теоремы о взаимности работ (теорема Бетти)
Для заданных преподавателем сечений 1-1 и 2-2 (рис.6) проводится проверка выполнения теоремы Бетти.
9
V. Методика проведения лабораторной работы
Определение величин прогибов и углов поворота опорных сечений производится в следующей последовательности:
1.Подготовить установку для выполнения опыта.
2.Установить стрелки всех индикаторов на “0”.
3.Нагрузить балку начальной нагрузкой Р=1,5 кг.
4.Произвести начальные отсчеты по шкалам индикаторов (при определении жесткости поперечного сечения балки показания снимаются с одного индикатора, установленного посредине пролета).
5.Давая одинаковые приращения нагрузки ( Р=1 кг), произвести 4 нагружения балки. Наибольшая величина нагрузки не должна превышать 6 кг на один гиревой подвес.
6.После каждого нагружения фиксировать показания индикаторов и заносить их в журнал испытаний №1 и №2.
7.По окончании опыта балку разгрузить и сравнить показания индикаторов с первоначальными значениями.
8.Подсчитать средние арифметические значения приращений отсчетов по индикаторам, измеряющих прогибы ( SСср , SсрD ) и углы поворота
( SсрA , SсрB ), используя формулу
Sср |
|
S1 S |
2 S3 S4 |
|
4 |
||
|
|
|
где Si= Si- Si-1, i=1,2,3,4;
Si –показание индикатора, соответствующее i-ому нагружению.
9.Определить опытные значения прогибов в сечениях C и D ( vопытC , vопытD ) по формуле:
vопыт Sср (см).
1000
10.Найти опытные значения углов поворота сечений А и В ( опытA , опытB ) по формуле
опыт |
Sср |
|
Sср |
(рад), |
|
L * 1000 |
15000 |
||||
|
|
|
где L-расчетная длина стержня, измеряемая от оси образца до оси индикатора (L =15 см).
11.Вычислить теоретические значения величин прогибов и углов поворота сечений при нагрузке F= Р.
12.Определить расхождения между опытными и теоретическими значениями прогибов и углов поворота.
13.Для проверки теоремы о взаимности работ (теорема Бетти):
а) установить индикаторные стойки и гирьевые подвесы в сечении C (сечение 1-1) и сечении D (сечение 2-2) (рис .6);
б) установить стрелки индикаторов на “0”;
в) нагрузить балку в сечении 1-1 нагрузкой F1, например, 2 кг;
10
г) по показаниям индикатора определить величину прогиба в
сечении 2-2 - v21; д) разгрузить балку;
е) нагрузить балку в сечении 2-2 нагрузкой F2, например, 1 кг; ж) по показаниям индикатора определить величину прогиба в
сечении 1-1 - v12; з) разгрузить балку;
и) произвести проверку теоремы о взаимности работ, убедившись в справедливости равенства
F1v12= F2v21.
VI.Контрольные вопросы
1.Какова цель лабораторной работы?
2.Какой вид деформации называется плоским поперечным изгибом?
3.Какие внутренние силовые факторы возникают при плоском прямом изгибе?
4.Какие перемещения определяют при плоском прямом изгибе балок? Правило знаков при определении этих перемещений.
5.Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Допущения, на основании которых оно получено.
6.Какие условия закрепления ставятся для шарнирно опертой балки и жѐсткозащемленной балки?
7.Какие методы решения приближенного дифференциального уравнения изучают в курсе сопротивления материалов?
8.Что называется жесткостью поперечного сечения балки при изгибе?
9.Какие условия ставятся для определения неизвестных постоянных интегрирования в методе непосредственного интегрирования?
10.Что называется пролетом балки?
11.Как определяется стрела прогиба?
12.Как называется свисающая часть балки, расположенная слева (справа) от крайней опоры?
13.Как опытным путем определяется жесткость поперечного сечения балки при изгибе?
14.Сформулируйте теорему Бетти.
VII.Мероприятия по технике безопасности
1.Не допускать к установке лиц, не ознакомившихся с ее устройством. 2.Лабораторную работу нужно выполнять в соответствии с описанием. 3.Нагружение образца проводить аккуратно, грузы не бросать.
4.Не превышать максимальную допускаемую нагрузку на один гирьевой подвес, равную 6 кг.
5.При перерывах в работе установка не должна находиться в нагруженном состоянии.