14. Методические указания 2

Индивидуальное задание и его решение

88

Индивидуальное задание и его решение

ОБРАЗЕЦ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

ПО ПРИМЕНЕНИЮ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

Задача №1

Задача №2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке.

Задача №3

Найти экстремумы и интервалы монотонности функций.

1)y = x4 - x3

4

2)y = x2 ×(1- x)

3)y = 3 - x2

x+ 2

4)y = 2x + 2

x

5) y = x − 2 ln x

Задача №4

Найти асимптоты следующих кривых.

1)y = 2x

x+1

Задача №5

89

Индивидуальное задание и его решение

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функций.

Задача №6

Построить графики функций.

Задача №7

Найти частные производные ∂z и ∂z следующих функций.

¶x ¶y

1)z = 4x2 - 3y2 + 5xy + 8x - 9 y

2)z = sin(5x2 - 3y) + ln 5x

y

3) z = e2 x ×sin 2 y + arctg 2x + 7 y

Задача №8

Задача №9

Найти экстремумы функции двух переменных: z = 2x3 + 2 y3 - 36xy + 430

Решение задачи №1

Сначала находим производную y′ = f ′(x) в произвольной точке x , а затем

производим вычисления в конкретной точке a , соблюдая следующий порядок действий:

·находим значение f (a);

·находим производную f ′(a);

·подставляя найденные значения в уравнения касательной и нормали (20) и (21), получаем нужные уравнения касательной и нормали.

1)Имеем: f ¢(x)= (2x2 + 3x)¢ = 4x + 3 .

Для точки с абсциссой в точке a = 0 находим:

90

Индивидуальное задание и его решение

·f (0)= 2 × 02 + 3 × 0 = 0 ;

·f ′(0)= 4 × 0 + 3 = 3 ;

· y = 3 × (x - 0)+ 0 y = 3x – уравнение касательной;

Для точки с абсциссой в точке b =1 находим:

∙f (1)= 5 ;

∙f ′(1)= 7 ;

Для точки с абсциссой в точке c = −1 находим:

∙f (-1)= -1 ;

∙f ′(-1)= -1 ;

∙ y = -1× (x +1)-1 y = −x − 2 – уравнение касательной; y = 1× (x +1)-1 y = x – уравнение нормали.

2) Имеем: f ′(x) = (sin 6x)′ = 6 cos 6x .

Для точки с абсциссой в точке a = 0 находим:

·f (0)= sin 0 = 0 ;

·f ′(0)= 6cos 0 = 6 ;

91

Индивидуальное задание и его решение

Решение задачи №2

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции f (x) на данном отрезке [a,b] могут достигаться в критических точках функции (т.е. в точках, в которых y′ = 0 или y′ не существует) или на концах отрезка [a,b]. Порядок действий таков:

·проверяем, что заданная функция на данном отрезке является непрерывной;

·ищем производную заданной функции (там, где она существует);

·находим критические точки функции f (x) и выбираем из них те, которые принадлежат интервалу (a,b) ;

·вычисляем значения функции в критических точках внутри отрезка и значения функции на концах отрезка; сравнивая полученные значения, находим наибольшее и наименьшее значения функции на [a,b].

1) Рассмотрим функцию y = x3 + 6x2 на отрезке [- 3,1].

·Заданная функция является многочленом, а многочлен имеет производную в каждой точке прямой. По лемме 3 из лекции 6 данная функция непрерывна на отрезке [- 3,1].

·Вычисляем производную функции: y¢ = 3x2 +12x .

· Находим критические точки: 3x2 +12x = 0; 3x × (x + 4)= 0 x1 = 0, x2 = -4 . Данному отрезку [- 3,1] принадлежит только точка x1 = 0 .

·Вычисляем значение функции в точке x = 0 и значения функции на концах заданного отрезка. Имеем:

f (0)= 0 , f (- 3)= 27 , f (1)= 7 .

Сравнивая эти значения, заключаем, что наименьшее значение функции достигается в точке x = 0 и оно равно 0 , а наибольшее значение функции достигается в точке − 3 и оно равно 27.

2) Рассмотрим функцию y = x - 2 на отрезке [0, 4]. x + 2

·Заданная функция является дробно-рациональной функцией, которая дифференцируема во всех точках, в которых знаменатель неравен нулю. Знаменатель обращается в нуль в точке x = −2 , которая не принадлежит отрезку [0, 4]. По лемме 3 из лекции 6 данная функция непрерывна на отрезке [0, 4].

·наибольшее и наименьшее значения функции достигаются в граничных

Решение задачи №3

92

Индивидуальное задание и его решение

План исследования функции на экстремум с помощью первой производной

таков:

·находим область определения функции D ( y) ;

·находим y′;

·находим критические точки функции y (то есть те точки, в которых y′ = 0 или y′ не существует); пусть этими точками будут точки с абсциссами

x1, x2 ,..., xn , которые расположены в порядке их возрастания;

·разбиваем D ( y) критическими точками на интервалы и внутри каждого интервала методом пробных точек находим знак y′; все действия оформляем в виде таблицы (см. примеры 21–25 из лекции 8);

·используя теоремы 17 и 18 из лекции 8, определяем, на каких интервалах данная функция возрастает, на каких убывает, а также находим точки локального экстремума.

1)Рассмотрим функцию y = x4 - x3 .

4

·Очевидно, что D (y)= R .

·Производная существует на всей числовой оси. Вычисляем: y¢ = x3 - 3x2 .

· Решаем уравнение y′ = 0 : x3 - 3x2 = 0 x2 × (x - 3)= 0 x1 = 0 , x2 = 3

– критические точки.

·Все дальнейшие действия оформляем в виде таблицы:

Первая строка – это область определения функции, раздробленная на интервалы критическими точками. Выберем внутри каждого из этих интервалов произвольную точку и определим в этой точке знак первой

производной y¢ = x3 - 3x2 . В интервале (- ¥, 0) возьмем, например, точку

этих точек в каждом из интервалов можно взять любые другие точки – результат будет тот же самый). Полученную информацию заносим во вторую строку таблицы.

·Применяя теорему 17, заключаем, что на интервалах (−∞,0) и (0,3) функция строго монотонно убывает, а на интервале (3,+∞) – строго

монотонно возрастает. Используя теорему 18, приходим к заключению, что в критической точке x1 = 0 экстремума нет (как убывала функция до этой

точки, так и убывает после нее); в критической точке x2 = 3 имеем

локальный минимум. Полученные результаты заносим в третью и четвертую строки таблицы.

93

Индивидуальное задание и его решение

3)Рассмотрим функцию y = 3 - x2 .

x+ 2

·D (y)= R \ {- 2}.

·y¢ = - x(2 - 4x) - 3 .

x+ 2 2

· y′ = 0 x2 + 4x + 3 = 0 x1 = -3 , x2 = -1 – критические точки.

·Строим таблицу:

Заметим, что мы не внесли в первую строку таблицы значение аргумента x = −2 , так как оно не входит в D (y). Итак, получаем: x1 = -3 – точка минимума и y(- 3)= 6 , а x1 = -1 – точка максимума, причем y(-1)= 2 .

4) Рассмотрим функцию y = 2x + 2 . x

∙D (y)= R \ {0}.

∙ y′ = 2 − 2 . x2

94

Индивидуальное задание и его решение

точки.

∙Строим таблицу:

минимума и ymin = y(1)= 4 .

5)Рассмотрим функцию y = x − 2 ln x .

∙D ( y) = (0,+∞) , так как логарифм существует только для положительных значений аргумента.

∙y′ =1 − 2 .

x

∙ y′ = 0 x − 2 = 0 x = 2 – критическая точка. x

·Строим таблицу:

ее числитель и знаменатель не имеют одинаковых корней). По теореме 21 из лекции 9 каждый корень x0 ее знаменателя порождает вертикальную асимптоту

асимптоты дробно-рациональной функции совпадают и вычисляются по формуле

95

Индивидуальное задание и его решение

параллельная оси Ox ).

2) Эта задача решается точно так же, как предыдущая. Приравниваем знаменатель

вертикальных и наклонных асимптот следует производить непосредственно по формулам (28)–(30). Эта функция определена " x Î (- ¥, 0)È (0, + ¥). Сначала будем искать вертикальные асимптоты. Имеем:

является левосторонней вертикальной асимптотой.

Теперь будем искать наклонные (правосторонние и левосторонние) асимптоты. Имеем:

по теореме 20 прямая y =1 является наклонной (горизонтальной) правосторонней асимптотой;

асимптотой.

96

Индивидуальное задание и его решение

Решение задачи №5

Нахождение точек перегиба и интервалов выпуклости функции производится по той же схеме, что и нахождение точек локального экстремума и интервалов монотонности, только здесь вместо первой производной используется вторая производная (см. лекцию 10).

1)Рассмотрим функцию y = x5 +3x + 2 .

∙D ( y) = R .

∙y′ = 5x4 +3 .

∙y′′ = 20x3 .

—точка перегиба.

2)Рассмотрим функцию y = 4x2 +3x3 .

∙D ( y) = R .

∙y′ = 8x + 9x2 .

∙y′′ = 8 +18x .