2. Высказывания, высказыват. Формы, торемы.

Высказыванием в математике называют предложе­ние, относительно которого имеет смысл вопрос: ИС­ТИННО ОНО ИЛИ ЛОЖНО. Обозначается – С(х,у) – высказ фор­ма, содержащая три элемента Х+5=8 одно­местная вы­сказ форма; Прямая Х параллельна прямой У. – двух­местная высказ форма.

Областью определения высказывательной формы на­зывается множество, их которого выбираются значе­ния переменных, входящих в высказ форму. (Одномест­ной высказывательной формой, заданной на множестве Х, называется предложение с переменной, которое обраща­ется в высказывание при подстановке в него зна­чений переменной из множества Х). Множество таких значе­ний переменных, при которых высказ форма об­ращается в истинное высказывание – называется множе­ством ис­тинности. (Обозн - Т). Предложения, образо­ванные из других предложений с помощью логических связок, на­зывают составными (Число 28 – чётное и де­лится на 7), остальные назвы. элетарными.

Логические операции: «И» - Конъюнкция, «ИЛИ» - Дизъюнкция, «НЕ» - отрицание. Конъюнкцией высказы­ваний А и В – называется высказывание А^B, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно.

Дизъюнкцией высказываний А и В – называется выска­зывание АvB, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказы­вания ложны. Отрицание высказывания А называется высказывание НЕ А, которое ложно, когда высказывание А истинно , и истинно, когда высказывание А – ложно.

Закон де моргана НЕ(АvB) ↔ неА^неB; НЕ(А^B) ↔ неА v неB.

Высказывания с кванторами В формулировках мате­матических предложений часто встречаются слова «каж­дый», «все», «некоторые», «хотя бы один», «в лю­бом». Это другой способ получения высказываний из высказы­вательных форм.

Квантор общности «для всякого Х» обозн перечёркнутой галочкой ( также «каждый», «любой» )

Квантор существования «существует Х такое, что…» обозн перевёрнутой заглавной Е (также употребл. «некоторые», «найдётся», «хотя бы один». Если задана одноместная высказ форма А(х), то чтобы превратить её в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней переменную. Если двухместная высказ форма, то связать надо каждую переменную. В формулировках определений и теорем часто кванторы «спрятаны», надо уметь их видеть. Напр. «Вертикальные углы равны» - квантор общности

Отношение следования и равносильности между предложениями: 1.Высказ. форма В(х) следует из А(х), если В(х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А(х) истинна (Всякое чис­ло, которое кратно 4, кратно и 2. Если число кратно 4 , то оно кратно и 2). Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из А(х) следует В(х), а из В(х) следует А(х).(2 урав­нен. равносильны на на некотор. множ-ве, если решения совпа­дают или нет реш на дан. множестве).

Структура Теоремы. Теорема- это высказывание, истин­ность которого устанавливается посредством рассужде­ния (доказательства). А→В, где А и В высказывательные фор­мы с одной или несколькими переменными. А – условие, В – заключе­ние. Можно сформулировать предложение если не А, то не B — противоположн. дан­ному (не теоре­ма), Это предложение будет являться теоремой, если оно истинно. Для всякой теоремы если А, то B можно сформу­лировать «если не В, то не А» - обратно противоположное данной. (Напр. «Если четырёхугольник явл прямоугольни­ком, то в нём диаго­нали равны». Предл обратное противо­положному будет: «Если в четырёхугольнике диагонали не рав­ны, то он не является прямоугольником» будет явл тео­ремой, так как истинно. Закон контрапозиции – предложение обратно противоположное какой-либо теореме, тоже будет являться теоремой. Предложения обратное данному и противоп. данному одновременно ис­тинны и ложны.

2 Методика ознакомления с сотавными задачами. При решении составной задачи появляется еще одна опе­рация – поиск недостающего данного для ответа на по­ставленный вопрос. К выполнению этой операции школь­ников необходимо готовить при решении простых задач. Приёмы: 1. Использование задач с недостающи­ми данны­ми; 2. Решение пар простых задач, в которых ответ первой задачи, является одним из данных во вто­рой задаче - заме­няют составной; 3. Решение задач с дву­мя вопросами. Можно поменять вопросы местами и спросить, на какой из двух вопросов мы можем ответить сначала. Ситуация приобретает новый характер: ученик видит, что для ответа на один вопрос ему хватает дан­ных, а на другой – нет и выстраивает вопросы в нужной последовательности; В од­ном цехе 10 станков, а в другом на 4 станка меньше. Сколько станков во втором цехе? В одном цехе 10 станков, а в другом станков. Сколько всего станков в двух цехах? Сначала предлагается решить вторую задачу и недостающее дан­ное (задачу) учащиеся находят сами. Из двух задач составляется одна, но с двумя вопросам. Учи­тель выясняет, в какой последовательности надо отвечать на вопросы. Эта задача сравнивается с пре­дыдущими: там только один вопрос. Учащиеся предлагают второй вопрос – суть решения составной задачи. Учить ре­шать задачи – значит учить устанавливать связи между данными и искомым и, в соответствии с этим, выбирать и выполнять арифметические действия. В начальных клас­сах ведётся работа над группами задач, решение которых основывается на одних и тех же связях между данными и искомым. Отличаются друг от друга конкретным содержа­нием и числовыми данными. Группы таких задач называ­ются задачами одного вида.

Этапы: Подготовительная работа к решению задач. Мо­жет быть или не быть, если вводится задача нового вида; Чтение и осмысливание текста (предмнтн.действия, крат­кая запись, схемат. рисунок, таблица); Поиск пути реше­ния, раз­бор и анализ текста, составление плана; Запись ре­шения и ответа; Работа над задачей после ее решения. Ме­тодические приемы: Фронтальная беседа. Наглядная ин­терпретация. Сравнение задач. Преобразование задач. Рассматрива­ние текстов с недостающими или избыточны­ми данными. Составление задач детьми. Решение различ­ными способа­ми. Проверка решения задачи. Ученик дол­жен узнавать задачу: - предложить детям несколько тек­стов, чтобы они назвали те, которые являются задачами. Разбор текста – ученик должен выделить условие и требо­вание в задаче. О чем эта задача? О чем еще говорится, что известно (проговаривается по условию). Говорится ли в условии о времени движения? Можно спрашивать, что означает каждое число. Какой вопрос? Надо обращать вни­мание на важные слова в тексте. По ходу разбора (или по­сле) делается краткая запись. Критерии краткой записи: должна отражать связи между компонентами.

Поиск решения – 2 способа:Аналитический способ (от вопроса к данным) - Что нужно знать, чтобы определить цену? Известно ли сколько купили сукна? Известна ли стоимость сукна? Сколько заплатили? Что нужно знать, чтобы определить стоимость сукна? Почему? Известна ли стоимость шелка? Что надо знать, чтобы узнать стоимость шелка? Синтетический метод анализа задачи. (от данных к искомому) Что можно определить, зная, что купили 14 м шелка и цена шелка – 6 рублей? .Что можно определить, зная, что было куплено 4 м сукна и 14 м шелка? Аналити­ко-синтетический метод разбора - и то и др.

Решение может быть записано: По действиям Выражени­ем Уравнением. Запись с помощью выражения: Посте­пенная запись выражения с пояснениями. Постепенная за­пись выражения без записи пояснений. Запись выражения без записи вспомогательных выражений и пояснений. За­пись решения в виде уравнения Постепенное составле­ние уравнения с записью пояснений. Постепенная запись уравнения без записи пояснения: Решения в виде отдель­ных действий.( с пояснен, без них, как вопросы)

2/6 =

Б-13

№2

Умозаключение - форма мышления

Из посылок - заключение

Виды умозаключений:

Дедуктивное - из посылок следует заключение (истинные посылки - истинное заключение)

Неполная индукция - некоторые объекты класса обладают свойствами, сделовательно все объекты класса обладают свойствами. (м.б.ложный вывод, нужна проверка)

Аналогия - сходство в некоторых признаках двух объектов, следовательно дополнительный признак тоже сходен (это скорее предположение)

Правила: заключения, отрицания, силлогизма.

Способы математического доказательства:

1 . дедуктивный вывод

Нужно учитывать четыре закона:

- тождества

- непротиворечия

- исключенного третьего

- достаточного основания

Бывают прямые доказательства и косвенные:

косвенные -

* метод от противного

* полная индукция

* математическая индукция (доказать истинность при н=1, н=к, н=к+1)

№3 (нет про тетради и проверку д.з.)

Контроль - выявление,измерение и оценивание знаний и умений.

Проверка ЗУН может быть:

- предварительной

- текущей

- контрольной

- итоговой

- инстпекторской

Методы проверки:

* устный опрос (индивидуальный, фронтальный)

* текущее наблюдение

* письменная проверка

* практическая проверка

* программированная проверка

* комбинированный или уплотненный контроль (сочетание методов)

Требования к проверке:

1. систематичность

2. всесторонность

3. объективность

4. индивидуальность в сочетании с коллективностью

5. дифференцированность

6. разнообразие форм

7. этичность

Диагностика - берет результат вместе с процессом, не отделяет ученика от учителя.

Оценка может быть:

- эмоциональное отношение

- оценочное суждение (словесное поощерение или порицание)

• отметка

Б-14

№1.

Множество - группы объектов, которые рассматриваются в математике как единое целое.

Обозначают заглавными буквами. Мн-ва могут быть пустыми.

Объекты - элементы множества

Обозначают строчными буквами.

Множества бывают конечные и бесконечные, для некоторых приняты устоявшиеся обозначения.

Операции над множествами:

1. пересечение

2. объединение

Разбиение мн-ва на классы.

Должно соблюдаться два условия:

- подмножества попарно не пересекаются

- объединение их совпадает с множеством

Если мн-во разбито на два класса - это дихотомическая классификация.

Соотвествия между множествами - взаимно однозначное соотвествие

Если такое можно установить, то говорят, что кол-во элементов одинаково и мн-ва равномощны.

Мн-ва равномощные мн-ву натуральных чисел - счетные мн-ва.

Бесконечное мн-во может быть равномощно своему подмножеству.

№2.

Виды упражнений:

1. Найти значение выражения (числового или буквенного)

2. С величинами (в виде фигуры, ромашки)

3. Сравнение математических выражений

4. Нужно дополнить выражения

5. Сравнение выражений с переменной

6. Решение уравнений

7. задачи - простые и составные

Устный счет - 15-20 примеров, 1-2 задачи.

№3.

Александр 1 (1801-1825) - реформа структуры просвещения. Начало создания нац. системы образования.

1802 - манифест об учреждении Министерства народного просвещения (МНП) - орган управления учебными заведениями.

6 учебных округов:

- Петербургский

- Московский

- Казанский

- Харьковский

- Виленский

- Дерптский

Было 4 типа учебных заведений:

1. приходские училища (1 год)

2. уездные училища (2 года)

3. гимназии (4 года)

4. университеты (к 1819 - в каждом округе)

Специальные вузы - Технологический, коммерческое училище, горный, путей сообщения институты.

Из-за разделения на сословия появились для лицея (для дворян).

Приравнивалось к универу. 6 лет (по 3 года две ступени - начальную, окончательную).

Каждые полгода - экзамены, в конце года - переводной экзамен.

Независимы от МНП - конфессиональные заведения и частные школы.

Возникла система высшего пед. обр.

1803 - Петербургская учительская семинария - была преобразована в институт.

У каждого универа - свой пед. институт. (3 года обучения)

1851 - кафедра педагогики при МГУ (Шевырев).

Николай 1. (1825 - 1855) Декабристкое восстание 1825 года.

Пушкин "О народном просвещении" (записка).

Гос обучение дворян, убрать телесные наказания для военных заведений.

Обратить на внимание на воспитание духовенства.

1828 - "Устав гимназий и училищ, состоящих в ведении универов"

(учебные заведения разделились по сословиям).

1834 - "Положение о домашних учителях"

(рос подданный, христианин, иметь рекомендацию)

1835 - "Положение об учебных округах" "Устав универов" (8 округов - Одесский, Белорусский)

Реформатор - граф Уваров (президент РАН), упорядочил систему школьного образования.

Принцип сословности хорошо повлиял. Разделене четкое между общеобразовательной и специальной школой.

Первые специальные пед. издания "Патриот", "Пед.журнал", "Библиотека для воспитания".

Одоевский (1804-1869)

Писал: руководства и пособия для начальных училищ, "Сказки дедушки Иринея".

ВЫступал за национальные основы воспитания в школе.

В воспитании важен личный пример учителя.

Важны духовные наставления.

Белинский (1811-1848) - критик, философ, педагог.

На первое место ставил нравственное воспитание в семье.

Родительская любовь - орган воспитания.

Педагог должен учитывать природные задатки и качества.

1 ступень (началка) - факты, события, явления.

2 ступень (повышенная) - их изучают во взаимосвязи.

Важна систематичность, которая связана в одну картину мира.

Критиковал оправдание безнравственного поведения материальными успехамив жизни.

Билет 14 Понятие множества Множествами называются те или иные группы объектов рассматриваемые в математике как единое целое: (натураль­ные числа, треугольники) Обозна­чают множество про­писными буквами латинского алфави­та: А, В, Множество не содержащее ни одного объекта, называется пустым =Ø. Объекты, из кот. образовано множество, называется эле­ментами. Элементы множества обозначают: а, в. Множества бывают конечные и бесконечные. (Конечные: дни недели, множество ме­сяцев в году. Бесконечные: мн-во точек на прямой, натуральных чисел.) Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения Операции над множествами: Пересечением множеств А и В называется множество, которое состоит из тех элементов, которые принадлежат как множеству А так и мн-ву Чтобы найти АΩВ, достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В. Объединение множеств Аи В обозначают АUВ. Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти АUВ, достаточно перечислить элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В. Понятие разбиения множества на классы: Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество Х разбито на классы Х1, Х2, если: подмножества попарно не пересекаются; объединение подмножеств совпадает с множеством Х. Если на множестве Х задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый – это класс объектов, обладающих этим свойством, а второй – дополнение первого класса до множества Х. Сравнение множеств. Если из элементов двух множеств можно составить пары таким образом, чтобы каждому элементу первого множества соответствовал определенный элемент второго множества, а каждому элементу второго соответствовал один и только один элемент первого множества, то между такими двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие, необязательно пересчитывать элементы множеств. Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то они имеют одинаковое количество элементов или равномощны. Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из первого множества остаются без пары, то говорят, что первое множество содержит больше элементов, чем второе. Понятие мощности конечных множеств позволяет сравнивать их по количеству элементов. Множество натуральных чисел равномощно множеству нечётных чисел, так как между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, например, по следующему правилу: 1 2 3... n ... ↕ ↕ ↕ ↕ 1 3 5... 2 n – 1

Так как множество нечётных чисел является подмножеством натуральных чисел, то этот пример показывает, что бесконечное множество может быть равномощно своему подмножеству.