Справочник по математике

Понятие

Определение, формула, метод

1. Производная

lim

y

f x x f x

.

функции y f x

y

lim

x

x 0 x

x 0

Обозначения:

f

x

,

dy

,

df

yx ,

dx

dx

2. Нахождение

Фиксировать x , дать x приращение x . Найти:

производной по

1)

f (x),

f x x ,

y f x x f x ;

определению

y , y lim

y

2)

x

x 0

x

3. Геометрический

смысл производ-

y x0 tg kкас ,

ной функции

где kкас – угловой коэффи-

y f x

циент наклона касательной

4. Уравнения касаУравнение касательной:

тельной и нормали y y

f x x x

.

к графику функ-

0

0

0

ции y f x в

Уравнение нормали:

точке M0 x0, y0

y y0

1

x x0

f

x0

5. Производные

d 2 y

d 3 y

n

d n y

n 1

y

высших порядков

y

2

, y

3 y

, y

n

y

,

функции y f x

dx

dx

dx

6. Физический

Пусть s f t – уравнение движения материальной точ-

смысл производ-

f t

ds

v – скорость движения точки,

ной

ки, тогда:

dt

d 2s

f

t dt2

a

– ускорение движения точки

Функция

Задание

Формула, метод

1. Обратная

Пусть y f x – монотонная

1

,

функция

функция. Тогда существует об-

yx

xy

ратная ей функция x y ,

1

f

причем D E f ,

(x)

( y)

E D f

2. Сложная

y f u

y

f g x F (x) ,

Правило цепочки:

функция

yx

yu ux ,

u g x

u – промежуточная переменная,

x – независимая переменная

F (x) f (u)g (x)

t

3. Параметри-

x

t

,

yx

(t)

y

чески заданная

y t ,

функция

(t)

xt

t – параметр

4. Неявная

Функция, заданная уравнением:

1) Продифференцировать

функция

F x, y 0

по x левую и правую час-

ти уравнения, считая y

функцией от x .

2) Решить полученное

уравнение относительно

yx

5. Сложно-

y u x v x

Метод логарифмического

степенная

дифференцирования:

(сложно-

1) ln y ln u v v ln u ,

показательная)

функция

yx

2)

y

v ln u

x

,

v

ux

3) yx

u

vx ln u v

u

Понятие

Формула

1. Дифференциал

– первая форма записи дифференциала,

dy f (x) x

функции y f x

– вторая форма записи дифференциала

dy f (x)dx

2. Правила диффе-

1) d Cu Cdu,

C const ;

ренцирования

2) d(u v) du dv ;

3) d u v vdu udv ;

u

vdu udv

4) d

v2

v

3. Свойство инвари-

Форма записи дифференциала не зависит от того, явля-

антности диффе-

ется ли переменная дифференцирования независимой

ренциала первого

переменной или сама является функцией от другой пе-

порядка

ременной:

если y f x , то

dy yxdx ;

если y f u , u g x

, то

dy yudu

4. Геометрический

PT

y x dy – прираще-

смысл дифферен-

ние ординаты касательной,

циала функции

проведенной в точке

y f x

M x, y

при заданных зна-

чениях x и x

5. Применение

Нахождение приближенного значения функции

дифференциала

y f

x в точке x x , при достаточно малых значе-

ниях x : f x x f x dy f x f x x

6. Дифференциалы

1)

d

2

y

2

,

высших порядков

d dy y dx

3

y d d

2

3

d

,

y y dx

d n y d d n 1y y n dxn ;

2)

если y f u , u g x , то

d

2

2

2

y fuu (u)du

fu (u)d u

2

3

2

10

10

x

3

y 2x5 3

3x 1

x 3

3x 2

.

3

3

x2

103 x2

3

Ответ: y

3

x2 .

3x

1

y 3x

arctg x 3x arctg x

3x ln3 arctg x

3x

ln3

arctg x

.

x2

1 x2

1

y 3x

arctg x

1

Ответ:

ln3

.

1 x2

3. y

3cos x

.