Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный энергетический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Справочник по математике

.pdf

Скачиваний:

226

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

4.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

		160
dxdydz		V : x y z 1, x 0, y 0, z 0 .
V (1 x y z)3	,	V : x y z 1, x 0, y 0, z 0 .

Решение. Область интегрирования V представляет собой пирамиду, расположенную в первом квадранте. Сводим тройной интеграл к двойному по проекции области V на плоскость Oxy, выделяя интегрирование в направлении оси Oz

dxdydz

V (1 x y z)3

z = 1 – x – y

D 1

1 x y		dz
dxdy			.

		(1 x y z)3
D	0

y = 1 – х

y O

1 x

Интегрируем по переменной z, считая x и y постоянными

1 x y		dz		1 x y			(1 x y z) 3d (1 x y z)
dxdy				dxdy

		(1 x y z)3
D	0			D	0
	(1 x y z) 2		z 1 x ydxdy			1	((1 x y) 2 2 2 )dxdy .

		2				2
D			z 0				D

Проекция D области интегрирования V представляет собой прямоугольный треугольник. Область D правильная в направлении Oy и представ-

		y 1 x
ляется неравенствами	D (x, y) :	x 1	. Переходим в двойном инте-
		x 1

грале к повторному, получаем

161

					1																							1	1 1 x																1
					1	((1 x y) 2 2 2 )dxdy																						1		dx						(1 x y) 2 dy									1	SD
						((1 x y) 2 2 2 )dxdy																								dx						(1 x y) 2 dy										SD
					2 D																							2		0				0										8
{ учитываем, что площадь области D как прямоугольного треугольника равна
SD			1	1 1			1	}
SD		2		1 1			2	}
		2					2
													1	1	1 x				(1 x y) 2 d (1 x y)																						1
													1	dx																											1
													2	dx																										16
													2	0		0																								16
	1	1 (1 x y) 1								y 1 x							1			1			1					1					1					1		1							x	1	1


														dx																				dx								ln(1 x)
						1								dx																				dx								ln(1 x)
	2	0				1				y 0						16 2							0			1		x 2										16 2									2	0	16
		0								y 0													0																									0
											1						1				1				ln1 0										1			1					5
													ln 2																										ln 2					.
													ln 2																										ln 2					.
											2						2				2													16				2					16
			Ответ.									dxdydz									1			ln 2							5	.
			Ответ.						(1 x y z)3												2			ln 2						16		.
							V		(1 x y z)3												2									16
			4. Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми,																																											поверхно-
стная плотность. Найти массу пластинки.
								D : x 0, y 4, y x2 (x 0);																												(x, y) x2 2y .
			Решение.							Масса						пластины															D			с			поверхностной										плотностью
(x, y) x2 2 y определяется формулой :
																		m (x2 2 y)dxdy .
																						D
			Вычисляем полученный двойной интеграл. Область D изображена на
рисунке ниже.
																					2					4
																		m dx (x2 y)dy .
																					0						x2

162

y = х2

4 y = 4

–2

Осуществляя повторное интегрирование, получаем

2	y	2			y 4				2					x	4		2				3x	4
2		2			y 4				2						4		2					4
m x2 y								dx 4x2 8 x4								dx 4x2			8				dx


	2													2							2
0					y x2				0		2						0
0					y x2				0								0
				4x		3			3x	5		32				48		256
				4x		3			3x	5		32				48		256
							8x						16				0			.
			3				8x		10			3	16				0	15		.
			3						10			3				5		15
											0
											0

Ответ. m 25615 .

5. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями.

V : z 4 x2 y2 , z 3(x2 y2) .

Решение.

Поскольку область интегрирования V – область, ограниченная верхней полусферой и параболоидом вращения, удобно перейти к цилиндрическим координатам. Искомый объем определяется формулой

V d d dz .

V *

Область интегрирования V * в цилиндрической системе координат определяется неравенствами

163


			2				2
			2				2
		3 z				4			,
V * ( ,, z) :		3 z				4			,
	0 2 , 0						1


					4 2
где 1 определяется из уравнения				32	4 2			(как пересечение полу-
сферы и параболоида).

z 3(x2 y2 )

z 4 x2 y2

D	y

Переходим в тройном интеграле к повторному, получаем

2	1	4 2
V d d			dz .
0	0		3	2

Осуществляем повторное интегрирование, находим

						2	1		4 2
				V d d								dz
						0	0			3	2
2	1						2	1
		z 4 2
													2		2
													2		2
	d z				2	d	d					4		3		d
	d z	z	3		2	d	d					4		3		d
0	0	z	3				0	0
0	0						0	0

164

				2		1												2			1						1	2			1
				2		1												2			1							2			1
		d 4 2 d																d 3d										d						4 2 d (4 2)
																3
																3										2
				0		0											0				0					2		0			0
	2		4		1			2												1 d					2						2


3						d	1			2	(4 2)3 / 2												3				d			1		(8 3 3)d			3	2
3						d					(4 2)3 / 2																d					(8 3 3)d				2
0		4			0	2 0 3														0			4	0					3		0				4	0
																																				0

												8 3													16

														3					2			3							5		3
														3								3							5		3
																																	.
													3						0			2				3			2				.
																			0


									16				5 3
	Ответ. V														.
	Ответ. V								3				2		.
									3				2

Вариант № 2

1. Изменить порядок интегрирования

1	0	f (x, y)dx	0	0
dy			dy	f (x, y)dx .
2			1
	2 y			y

2. Вычислить двойной интеграл по области D , ограниченной указанными линиями

(x2 y)dxdy, D : y x2, x y2 .

3.Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты

1	1 x2	dy
dx			.


		x2 y2
0	0 1

4. Вычислить тройной интеграл по области V, ограниченной указанными поверхностями

x dxdydz, V : y 10x, y 0, x 1, z xy, z 0 .

5. Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями

а) D : y 4x, x y 3, y 0 ;

б) D : y2 2 y x2 0, y2 4 y x2 0, y	x
	x	, y 3x .

	3
	3

165

6. Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, – поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

D : x 1, y 0, y2 4x ( y 0); 7x2 y .

7. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями.

а) z x2 y2, x y 1, x 0, y 0, z 0 ;

							9z
б) z 9 x2 y2 ,							9z	x2 y2 .
б) z 9 x2 y2 ,							2	x2 y2 .
							2
Ответы.
	0	x2							6			(1 ln 2) ;		10
1.	dx			f (x, y)dy ;				2.	6	; 3.			4. 10; 5. а)	10		; б)		; 6.
1.	dx			f (x, y)dy ;				2.	35	; 3.	2		4. 10; 5. а)		3	; б)	2	; 6.
	1	x2 2							35		2				3		2
7;	7. а)		1	; б)	171	.
7;	7. а)			; б)		.
		6			16

166

14. Криволинейные и поверхностные интегралы

Таблица 81

Криволинейные интегралы

Название

Обозначение, вычисление

Свойства

1. Криволи-

J1 f (x, y)dl ,

нейный ин-

теграл 1-го

J2 f (x, y, z)dl

рода

а) По длине

1) L: x x(t),

t1 t t2 ,

дуги L на

плоскости

y y(t),

Не зави-

J1 f x(t), y(t)

[x (t)]2 [ y (t)]2 dt

сит от

направ-

2) L: y y(x),

a x b ,

ления пу-

ти интег-

J1 f x, y(x)

рирова-

1 [ y (x)] dx

ния

б) По длине

x x(t),

дуги L в

y(t),

t1 t t2 ,

пространст-

L: y

z(t),

ве

x(t), y(t), z(t)

[x (t)]2 [ y (t)]2 [z (t)]2 dt

J2 f

2. Криволи-

P(x, y)dx Q(x, y)dy ,

нейный ин-

теграл 2-го

J4 P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz

Меняет

рода

свой знак

а) По коор-

1) L: x x(t),

t1 t t2 ,

на обрат-

динатам на

ный при

плоскости

y y(t),

измене-

нии на-

x(t), y(t)

x (t) Q

x(t), y(t)

y (t) dt

правле-

ния пути

2) L: y y(x),

a x b

интегри-

рования

P x, y(x) Q x, y(x) y (x) dx

167

Таблица 81 (окончание)

Название

Обозначение, вычисление

Свойства

б) По коор-

x x(t),

Меняет

динатам в

y(t),

t1 t t2 ,

свой знак

пространст-

на обрат-

z(t),

ве

ный при

измене-

нии на-

P x(t), y(t), z(t) x (t) Q x(t), y(t), z(t) y (t)

правле-

ния пути

R x(t), y(t), z(t) z (t) dt

интегри-

рования

3. Формула

Пусть L – замкнутый контур, граница области D,

Грина

P(x, y), Q(x, y) – непрерывны в D + L, тогда

J3 P(x, y)dx Q(x, y)dy

dxdy ,

где обход контура L выбирается так, чтобы область D остава-

лась слева

4. Криволи-

Если

, то P(x, y)dx Q(x, y)dy dU (x, y) . Тогда

нейный ин-

теграл 2-го

не зависит от пути интегрирования, т.е.

рода от

(x2 , y2 )

полного

P(x, y)dx Q(x, y)dy U (x2, y2) U (x1, y1) ,

дифферен-

циала

(x1, y1)

где (x1, y1) – начальная и (x2, y2) – конечная точки кривой L;

2) если L – замкнутый контур (т.е. (x1, y1) = (x2, y2) ), то

J3 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0

168

				Таблица 82
Приложения криволинейных интегралов

Приложение	Данные задачи	Формула
1. Вычисление	L – кривая на плоскости		l dl
длины l произ-	или в пространстве		l dl
длины l произ-	или в пространстве			L
вольной кривой				L
вольной кривой
2. Вычисление	L – материальная линия,	m (x, y)dl
массы m матери-	(x, y) – линейная плот-	m (x, y)dl
массы m матери-	(x, y) – линейная плот-			L
альной линии				L
альной линии	ность
3. Вычисление	L – граница области S (на-	S ydx ,
площади области	правление обхода контура	S ydx ,
площади области	правление обхода контура			L
S	выбирается против часовой			L
S	выбирается против часовой	S xdy ,
	стрелки)	S xdy ,
				L
		S	1	xdy ydx
		S		xdy ydx
		2		L
				L
4. Отыскание ра-	1) L – кривая на плоскости,	A Fx (x, y)dx Fy (x, y)dy
боты A перемен-	F Fx (x, y), Fy (x, y) –	A Fx (x, y)dx Fy (x, y)dy
боты A перемен-		L
ной силы при		L
ной силы при	вектор силы
движении точки	вектор силы
движении точки	2) L – кривая в простран-
вдоль кривой	2) L – кривая в простран-
вдоль кривой	стве,	A Fxdx Fydy Fzdz
	стве,
	F Fx , Fy , Fz – вектор
	F Fx , Fy , Fz – вектор	L
	силы, где Fx , Fy , Fz –
	функции трех переменных

169

Таблица 83

Поверхностные интегралы

Название

Обозначение, вычисление

Свойства

1. Поверх-

f (x, y, z)ds

ностный

интеграл

Не зави-

1-го рода

сит от

Если всякая прямая, параллельная оси Oz, пересе-

выбора

кает поверхность S лишь в одной точке, т.е.

стороны

S: z (x, y) , а D – проекция поверхности S на Оху,

поверх-

то

ности S

J5 f (x, y, (x, y))

1 x (x, y)2 y (x, y)2 dxdy

2. Поверх-

P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dxdz R(x, y, z)dxdy ,

ностный

интеграл

2-го рода

а) Сведение

P cos Q cos R cos ds ,

к поверхно-

стному ин-

где cos,

cos , cos – направляющие косинусы

тегралу 1-го

Меняет

вектора нормали к поверхности S.

рода

свой знак

Если S задана уравнением F(x, y, z) 0

, то

на обрат-

F x

ный при

cos

переходе

F 2

на дру-

гую сто-

рону по-

F y

cos

верхно-

F 2

сти

cos

F z

F 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202532.3 Кб2соч китап.docx
#
13.08.20191.09 Mб92Сочинения_Рахман.doc
#
01.04.2025287.74 Кб1СПАУ р1.doc
#
10.06.201525.26 Кб17СПН 11-20.docx
#
10.06.20151.4 Mб36Справочник для поступающих на 2015 год.pdf
#
10.06.20154.57 Mб226Справочник по математике.pdf
#
10.06.20151.16 Mб79справочник по физике.pdf
#
01.04.20251.14 Mб12Сравочник по ПиРЭЭ.doc
#
07.09.2019253.95 Кб12средние-студ.doc
#
10.06.2015253.27 Кб1468СТАНДАРТЫ.docx
#
07.09.2019221.7 Кб16Стат-наблюд-студ.doc