Справочник по математике

Вид рациональной дроби

Метод интегрирования

1. Простейшая рацио-

A

нальная дробь I типа:

dx Aln

x

a

C

x a

A

(x a)

2. Простейшая рацио-

A

(x a)

k 1

нальная дробь II типа:

dx A

C

(x a)k

( k 1)

A

,

A

(x a)k

=

C

(1 k)(x a)k 1

k 1 – целое число

3. Простейшая рацио-

1) Выделяем полный квадрат в знаменателе:

нальная дробь III типа:

x2

p

2

p

2

Mx N

px q x

q

,

,

2

4

2

x

px q

p

D p

2

4q 0

2) делаем замену: t x

,

2

M1t N1

3) приводим дробь к виду:

,

t2 a2

4) интегрируем полученную дробь:

M1t N1

dt M1

tdt

N1

dt

t2 a2

t2 a2

t2 a2

M1

ln(t2

a2)

N1

arctg

t

C

2

a

a

4. Простейшая рацио-

Выделяя полный квадрат в знаменателе и приме-

нальная дробь IV типа:

няя метод интегрирования по частям, понижаем

Mx N

,

степень знаменателя, т.е. приводим дробь к виду:

Mx N

(x2 px q)k

(x2 px q)k 1

k 1 – целое число,

D p2 4q 0

Вид рациональной дроби

Метод интегрирования

5. Правильная рацио-

1) Q(x) разложить на множители:

нальная дробь

Q(x) (x a)k

(x2 px q)l

,

P(x)

,

P(x)

2) дробь

разложить в сумму простейших

Q(x)

где P(x) , Q(x) – много-

Q(x)

дробей с неопределенными коэффициентами:

члены,

P (x)

A

A

A

1

1

2

k

т.е. степень P(x) меньше

Q(x)

(x a)

(x a)2

(x a)k

степени Q(x)

M1x N1

Ml x Nl

,

(x2 px q)l

x2 px q

3) найти неопределенные коэффициенты и под-

ставить в простейшие дроби,

4) проинтегрировать сумму простейших дробей

6. Неправильная рацио-

1) Используя деление многочленов, выделить

нальная дробь

целую часть у дроби:

P(x)

P(x)

P (x)

,

R(x)

1

,

Q(x)

Q(x)

Q(x)

где P(x) , Q(x) – много-

2) проинтегрировать целую часть R(x) и пра-

члены,

P (x)

т.е. степень P(x) больше

вильную рациональную дробь

1

Q(x)

или равна степени Q(x)

Вид интеграла

Метод интегрирования

1.

I1 R(sin x,cos x)dx ,

Универсальная подстановка

1 t2

R – рациональная функция

x

2t

2dt

tg

t ,

sin x

, cos x

, dx

2

2

2

1 t

1

t

1 t

2

сводит интеграл I1

к интегралу от рациональной

дроби

2.

I2 R(tgx,sin

2

x,cos

2

x)dx ,

Подстановка

2

t

1

dt

R – рациональная функция

tg x t , sin2 x

, cos2 x

, dx

2

2

2

1 t

1 t

1 t

сводит интеграл I2

к интегралу от рациональной

дроби

3.

I3 f (sin x)cos xdx

I3 f (sin x)d (sin x) f (t)dt ,

замена: t sin x

4.

I4 f (cos x)sin xdx

I4 f (cos x)d (cos x) f (t)dt ,

замена: t cos x

5. I5 sinmx cosnx dx

а) среди m и n есть не-

а) I5 sin

2k 1

n

x dx

четное число, например,

x cos

sin2x

k cosnx sin xdx

m 2k 1,

1 cos2x k cosnx d(cos x) I4 ,

б) оба числа m и n – чет-

б) формулы

ные

cos2 x

1 cos 2x

, sin2 x

1 cos 2x

2

2

упрощают интеграл I5

Вид интеграла

Метод интегрирования

m

r

Замена x tk ,

1. I1 R(x, x n ,

, x s )dx ,

m

r

где k – общий знаменатель дробей

,

,

R – рациональная функция

n

s

сводит интеграл I1 к интегралу от рацио-

нальной дроби

ax b

m

Замена

ax b

tk ,

n