Справочник по математике

Таблица 72

Признаки сходимости числовых рядов

Признак

Формулировка

Примечания

1. Необхо-

Обратное утвер-

димый при-

Если ряд un сходится, то

ждение неверно, по-

знак сходи-

n 1

этому этот признак

мости ряда

lim un 0

применяется для

n

доказательства рас-

ходимости ряда

2. Признак

Пусть 0 un vn , начиная с некоторого

сравнения

n n0 , тогда

рядов

а) если vn

сходится, то un так

n 1

n 1

же сходится,

Применяется для

рядов с положитель-

б) если un

расходится, то vn

ными членами, для

n 1

n 1

сравнения чаще все-

также расходится

го берутся гармони-

3. Предель-

Пусть un 0

и vn 0 и существует ко-

ческий ряд, геомет-

ный признак

нечный и отличный от нуля предел

рическая прогрессия

сравнения

lim

un

(или, в частности, un ~ vn ), то

или ряд Дирихле

рядов

n vn

ряды un и

vn сходятся или рас-

n 1

n 1

ходятся одновременно

4. Интеграль-

Если un f (n) , где функция f (x) по-

Применяется для

ный признак

ложительна, монотонно убывает и не-

рядов с положитель-

Коши

ными членами

прерывна при x a 1, то ряд un и

n 1

141

Окончание таблицы 72

Признак

Формулировка

Примечания

5. Признак

Пусть существует конечный предел

Даламбера

lim

un 1

l , тогда

Если un – знако-

n 1

un

n

переменный ряд, то

он будет сходиться

1) если 0 l 1, то ряд un сходится;

абсолютно при

n 1

0 l

1, а при l

1

2) если l 1, то ряд расходится;

он будет расходить-

3) если l = 1, то требуется дополнитель-

ся, т.е. будут расхо-

ное исследование

диться оба ряда

6. Признак

Пусть существует конечный предел

un и un .

Коши

lim

n u

n

l , тогда

n 1

n 1

n

При использовании

1) если 0 l 1, то ряд un сходится;

признака Коши бы-

n 1

вает полезна форму-

2) если l 1, то ряд расходится;

ла Стирлинга:

3) если l = 1, то требуется дополни-

n n

тельное исследование

n!

2 n

e12 ,

e

0 1

7. Признак

Пусть для знакочередующегося ряда

Для суммы ряда:

Лейбница

b1 b2 b3 b4

, bn 0

S b1,

выполнены два условия:

для остатка ряда:

1) члены ряда монотонно убывают, т.е.

Rn bn 1

b1 b2 b3 ;

2) lim

b

0 ,

n

n

тогда данный ряд сходится

Таблица 73

Функциональные ряды

Понятие

Определение

Примечания

1. Функцио-

нальный ряд

fn (x) f1(x) f2 (x)

n 1

2. Область D

Множество значений x D , для кото-

сходимости ря-

да

рых f n (x) сходится

n 1

3. Сумма ряда

Функция S(x)

lim Sn (x) , где

S(x) определена

n

в области D

Sn (x) f1(x) f2 (x) fn (x) .

Rn (x) S(x) Sn (x) – остаток ряда

4. Равномерная

0

N n N x D1

D1 – область рав-

сходимость

Rn (x)

номерной сходи-

функциональ-

мости

ного ряда

5. Признак

Вейерштрасса

Пусть 1) ряд

f n (x) сходится в D1,

Ряд сn

назы-

равномерной

2) x D1

n 1

cn ,

n 1

сходимости

fn (x)

вается мажори-

функциональ-

рующим для

ного ряда

3) числовой ряд сn

сходится,

n 1

f n (x)

тогда данный ряд сходится в D1 абсо-

n 1

лютно и равномерно

6. Интегриро-

вание и диффе-

1) Пусть на [a, b]

f n (x) равномерно сходится, а

fn (x)

ренцирование

n 1

рядов

непрерывны, тогда ряд можно почленно интегрировать,

x

x

x0, x a,b ;

т.е. f n (x)

f n (x) , где

n 1 x0

x0

n 1

2) пусть на [a, b]

f n (x) сходится,

fn (x) дифференци-

n 1

n

руемы, а

f (x) равномерно сходится, тогда ряд можно

n 1

n

n

почленно дифференцировать, т.е.

f

f

(x)

(x)

n 1

n 1

Таблица 74

Степенные ряды

Понятие

Определение

Примечания

1. Степен- 1) По степеням х:

ной ряд

Ряд cn (x a)n

cn x n c0 c1x c2 x 2 ;

n 1

n 1

сводится к ряду

2) по степеням (х – а):

cn x n заменой

cn (x a)n c0

c1(x a)

c2 (x a)2 n 1

n 1

X x a

2. Теорема

Абеля

Если степенной ряд cn x n

сходится в

n 1

точке x1 0 , то он абсолютно сходится для

x

x1

; если же ряд рас-

всех х, таких что

ходится в точке x2 , то он расходится для

всех х, таких что

x

x2

3. Интер-

Сходимость сте-

вал сходи-

1) Область сходимости ряда

cn x n

– ин-

пенного ряда бу-

мости

n 1

дет равномерной

тервал с центром в начале координат, т.е.

на любом отрезке,

x

R (или R x R );

лежащем внутри

интервала сходи-

2) область сходимости ряда

cn (x a)n –

мости. Это зна-

n 1

чит, что степен-

интервал

x a

R (или a R x a R ).

ной ряд можно

R – радиус сходимости

почленно диффе-

ренцировать и

интегрировать

4. Радиус

R

1

и R lim

cn

.

сходимо-

cn 1

n

lim

c

n

n

сти

n

Таблица 75

Основные разложения элементарных функций в ряд Тейлора

Функция

Разложение

Интервал

сходимости

1. e x

xn

x2

x

3

x4

x

1 x

n!

2!

3!

4!

n 0

2. sin x

( 1)n

x

2n 1

x

3

x

5

x

7

x

x

(2n

n 0

1)!

3!

5!

7!

3. cos x

( 1)n

x

2n

x

2

x

4

x

6

x

1

n 0

(2n)!

2!

4!

6!

4. shx

x

2n 1

x

3

x

5

x

7

x

x

(2n 1)!

n 0

3!

5!

7!

5. chx

x

2n

x

2

x

4

x

6

x

1

n 0

(2n)!

2!

4!

6!

6. (1 x)m

m(m 1) (m n 1)

n

При m 0

1

x

1 mx

1 x 1,

n!

n 1

при 1 m 0

m(m 1)

m(m 1)(m 2)

x

2

x

3

1 x 1,

2!