Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный энергетический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Справочник по математике

.pdf

Скачиваний:

219

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

4.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

180

Таблица 85

Векторные поля

Понятие

Определение

Формула, физ. смысл

1. Вектор-

Если каждой точке М облас-

(M ) P(x, y, z)i

ное поле

ти Q поставлен в соответст-

Q(x, y, z) j R(x, y, z)k

вие некоторый вектор

F (M ) , то говорят, что в об-

ласти Q задано векторное

поле

2. Вектор-

Кривая L называется вектор-

(M ) Pi Qj Rk , то

Если F

ные линии

ной линией, если в каждой

векторные линии определяют-

точке М этой кривой на-

ся системой дифференциаль-

правление касательной к ней

ных уравнений:

совпадает с направлением

вектора F (M )

P(x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)

3. Поток

Потоком векторного поля

Поток равен количеству жид-

векторного

кости, протекающей за едини-

F (M ) через поверхность S

поля

называется поверхностный

цу времени через поверхность

S в направлении нормали

интеграл 2-го рода:

nds

4. Циркуля-

Циркуляцией векторного

Циркуляция равна работе век-

ция вектор-

торного поля вдоль кривой L

поля F (M ) вдоль кривой L

ного поля

называется криволинейный

интеграл 2-го рода:

Fdl

5. Дивер-

Дивиргенцией называется

(M ) Pi Qj Rk , то

Если F

генция век-

предел отношения потока

P Q R .

торного по-

divF

векторного поля F (M ) че-

ля

рез замкнутую поверхность

S к величине объема V, огра-

Дивиргенция есть плотность

ниченного этой поверхно-

источников векторного поля в

стью, при условии, что по-

данной точке.

верхность стягивается в точ-

Если divF 0 , то в векторном

nds

поле F отсутствуют стоки и

ку: divF

lim

источники

V 0

181

Окончание таблицы 85

Понятие

Определение

Формула, физ. смысл

6. Ротор векРотор векторного поля

Символическая запись ротора:

торного поля

(M ) Pi Qj Rk – это

вектор

rotF

Ротор векторного поля харак-

теризует «вращательную ком-

поненту» этого поля, а именно

равен удвоенной угловой ско-

рости и направлен вдоль оси

вращения

7. Птенци-

grad u ,

Векторное поле F (M ) назы-

альное поле

вается потенциальным, если

u – потенциал поля F .

его можно представить в виде

F – потенциальное поле

градиента некоторого скаляр-

0 ,

rotF

ного поля u f (M )

т.е. потенциальное поле явля-

ется безвихревым.

8. Соленои-

0 .

Векторное поле F (M ) , ди-

divF

дальное

вергенция которого равна ну-

Любое соленоидальное поле

(трубчатое)

лю, называется соленоидаль-

можно представить в виде ро-

поле

ным

тора векторного поля:

rotA

9. Гармони-

0 и

0 .

Векторное поле F (M ) назы-

rotF

divF

ческое поле

вается гармоническим, если

Потенциал гармонического

оно одновременно и потенци-

поля удовлетворяет уравне-

альное и соленоидальное

нию Лапласа: u 0

Скалярное поле u f (M ) на-

зывается гармоническим (или лапласовым), если оно удовлетворяет уравнению Лапла-

са: u 0

182

Таблица 86

Дифференциальные операции теории поля

Понятие

Формула

1. Оператор

Символический вектор

Гамильтона

(набла-

оператор)

2. Дифферен-

grad u u ,

Свойства:

циальные опе-

div(uF) F grad u udivF ,

divF

F ,

рации первого

grad uv vgrad u ugrad v ,

rotF

порядка

rot(uF) urotF grad u F ,

4. div(F

) G

rotF

F rotG,

rot(F

) (G

FdivG GdivF,

grad(F

) (G

rotG

rotF

3. Дифферен-

grad divF

( F

) ,

циальные опе-

div grad u u 2u u ,

рации второго

порядка

div rotF

( F) F 0 ,

rot grad u (u) ( )u 0 ,

)

rot rotF

( F

4. Оператор

Лапласа

k ,

Уравнение Лапласа: u

183

Варианты самостоятельной работы по теме «Теория поля»

Вариант № 1

1. Дана функция u M u x, y, z и точки M1, M2 . Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора M1M2 ; 2)

grad u M1 .

u(M ) ex2 2 y2 3z , M1(1, 1, 0), M2(2, 3, 2) .

Решение. Находим частные производные функции u(x, y, z) , используя правило дифференцирования сложной функции

u 2x ex2 2 y2 3z , u 4 y ex2 2 y2 3z ,																			u	3 ex2 2 y2 3z .
x														y					z
Вычисляем значения найденных частных производных в точке M1,
подставим вместо x, y, z координаты точки M1
						u							u (1, 1, 0) 2 1 e12				2 12		3 0					2		,
						u											2 12		3 0					2

						x								x										e
									M			1
									M


					u							u (1, 1, 0) 4 1 e12					2 12 3 0										4	,
												u (1, 1, 0) 4 1 e12																,
						y								y													e
								M																			e
								M		1
										1
						u								u (1, 1, 0) 3 e12 2 12 3 0								3			.
						u																3

							z							z								e
											M		1
											M


Определяем вектор M1M2

			M1M2 (2 1)i (3 1) j (2 0)k i 2 j 2k .

Находим модуль и направляющие косинусы вектора M1M2
															3, cos	1		, cos			2		, cos						2	.
						12						22 22
		M M		2
		M M
	1												3							3									3
													3							3									3

184

Находим искомую производную поля u M u x,

y, z

в точке M1 по

направлению вектора M1M2 :

cos u

cos

0 .

M M

e 3

1 2

2) Найдем grad u M1 :

gradu(M ) u

j u

(2i 4 j 3k ) .

Ответ: а)

; б) gradu(M )

(2i 4 j 3k ) .

M1M2

2. Найти векторные линии векторного поля a 3xi 6 yj .

Решение. Так как третья координата векторного поля R(x, y, z) 0 , то

dz 0 и, следовательно,

z C const . Поэтому дифференциальные уравне-

ния векторных линий сводятся к одному уравнению:

dx dy при z=C. 3x 6 y

Решаем дифференциальное уравнение, получим

dyy 2 dxx ln C1 ln y 2ln x ln C1 y C1x2 .

Следовательно, векторные линии определяются системой уравнений

		2	,
y C1x			,

z C .
	2
						2	,
	Ответ.			y C1x			,
	Ответ.
				z C .
					2

3. Дано векторное поле

a(M ) (2x 5y 6z)i (4x 8y 12z 1) j (3x 9 y 2z 3)k ,

а) проверить, является ли векторное поле a a(M ) соленоидальным;

185

б) проверить, является ли векторное поле a a(M ) потенциальным; Решение. а) Находим дивергенцию векторного поля a a(M ) :

div a(M )

(2x 5y 6z)

( 4x 8y 12z 1)

(3x 9 y 2z 3)

= 2 + 8 + 2 = 12.

Так как

diva 12 0,

то векторное поле

a(M ) не является соленои-

дальным.

б) Находим

ротор

векторного поля a(M ) , учитывая,

что

P (2x 5y 6z), Q ( 4x 8y 12z 1), R (3x 9y 2z 3) .

rot a(M )

2x 5y 6z

4x 8y 12z 1 3x 9 y 2z 3

(3x 9y

2z 3)

( 4x

12z) i

(2x 5y 6z)

(3x

9y 2z 3)

( 4x

8y 12z 1)

(2x 5y 6z) k (9

12)i (6

3) j ( 4 5)k

21i 3 j k .

Поскольку rot a(M ) 21i 3 j k 0 , то векторное поле a(M ) не явля-

ется потенциальным.

4. Вычислить поток П векторного поля a(M ) через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).

a (xy y2 z)i (x2z yz) j (x2 xz)k , S : x2 y2 4, z 0, z 1.

Решение. Для вычисления потока заданного векторного поля a(M ) по

заданной замкнутой поверхности S, воспользуемся формулой Остроградско- го–Гаусса, предварительно вычислив дивергенцию векторного поля

186

div a x (xy y2 z) x (x2z yz) x (x2 xz) y z x .

Тогда искомый поток по заданной замкнутой поверхности определится выражением

(x y z)dxdydz ,

где V – область, ограниченная заданной замкнутой поверхностью и определяется неравенствами:

		2 2
	x	y
	x	y	4
V (x, y, z) :		z 1	.
	0	z 1

Область V такова, что удобно перейти к цилиндрическим координатам. Имеем

	0	2
		2
V ( ,, z) : 0			.
	0	z 1

Переходя к цилиндрическим координатам в тройном интеграле, полу-

чаем

								2			2			1
	(x y z)dxdydz										d d (cos sin z)dz
		V						0			0			0
2	2				z		2		1			2			2			2		1
2	2						2		1			2			2

	d	(cos sin )z									d		d						(cos sin )		d
	d	(cos sin )z				2					d		d						(cos sin )	2	d
0	0					2						0			0					2
0	0								0			0			0
									0
	2		3			2				2		2			8
	2		3			2				2		2			8
		(cos sin )									d					(cos sin ) 1 d
		(cos sin )	3				4				d				3	(cos sin ) 1 d
			3				4						0		3
		0								0			0
		0								0					2

			8
				(sin cos )													2 .
				(sin cos )													2 .
			3												0
															0

Ответ. П = 2.

5. Найти циркуляцию векторного поля a вдоль контура L (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t ).

187

a 4 yi 3xj xk ,	x 4cost, y 4sin t,
a 4 yi 3xj xk ,	L :
	z 4	4cost 4sin t.

Решение. По определению циркуляции векторного поля равна криволинейному интегралу второго рода по кривой L:

C a dr 4 ydx 3xdy xdz.

L L

Вычисляем криволинейный интеграл, сводя его к определенному:

			C 4 ydx 3xdy xdz
			L
	2

			16sin t 4sin t 12cost 4cost 4cost(4sin t 4cost) dt
	0

2 64 8sin 2t dt 64t 4cos 2t 02 128 .

Ответ. -128 .

Вариант № 2

1. Найти линии (а) и поверхности (б) уровня скалярного поля

а)	U		1	;	б) U arcsin		z	.


		x2 y2					x2 y2

2.	Найти величину наибольшей производной по направлению в точке
M(1; 1; 2) скалярного поля U = x 2 y 2 z – ln (z – 1).
3. Найти векторные линии векторного поля a = xy i – 2(x2 – x) j .
4. Найти поток векторного поля						a =y j + z k через часть плоскости P:
x + y + z – 1 = 0,			расположенную в первом октанте (нормаль образует острый

угол с осью Oz).
5. Определить поток векторного поля a			= x2 i + y2 j + z2 k через
внешнюю сторону полусферы x2 + y2 + z2 = a2			z 0 .
6. С помощью формулы Остроградского-Гаусса определить поток век-
торного поля	a = x2 i + y2	j + z2 k через внешнюю сторону поверхности
куба 0 x a,	0 y a,	0 z a.

7. Вычислить циркуляцию плоского векторного поля

188

a = (2x+x 9 - x2 y2 +2y) i + (xy-y 9 - x2 y2 ) j

вдоль замкнутого контура L, если L: x2 + y2 = 4. 8. Вычислить циркуляцию векторного поля

a = (x2 - yz) i + (y2 - xz) j + (z2-xy) k

вдоль замкнутого контура АВСА, если АВС – треугольник с вершинами

А(3; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 1).

Ответы: 1. а) Линии уровня - семейство концентрических окружностей

радиуса

( C 0 ); б) Поверхности уровня – конусы; 2.

по

наиб

направлению градиента grad U(M) = 4 i

+ 4 j ; 3. x 1 2

C ; 4.

; 5.

πa4

; 6. 3а

; 7. – 8π; 8. 0.

189

16. Сведения из элементарной математики

Греческий алфавит

		, ро
, а льфа	, ио та	, ро

, бе та	, ка ппа	,, си гма

, га мма	, ла мбда	, та у
	, ми
, де льта	, ми	, ипсило н
, эпсилон	, ни	, фи
	, кси	, хи
, дзе та	, кси	, хи
, эта		, пси
, эта	, омикро н	, пси
	, пи
,, те та	, пи	, оме га

Действия с дробями


a			c	ad cb
b			d		bd

	a	m			a mb
	b				b

ab dc bdac

ab : dc adbc

ab m amb

Действия со степенями

(ab)	n	a	n	b	n	,	a n	an

								bn
							b

am an am n, am : an am n

an m anm, a0 1, a n

m n

n am ,

a n

n m a mn a,

Формулы сокращенного умножения

(a b)(a b) a2 b2

(a b)2 a2 2ab b2

(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3

a3 b3 (a b)(a2 ab b2)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.03.201666.05 Кб19Социология_Лекция № 3.doc
#
13.08.20191.09 Mб88Сочинения_Рахман.doc
#
01.04.2025287.74 Кб0СПАУ р1.doc
#
10.06.201525.26 Кб14СПН 11-20.docx
#
10.06.20151.4 Mб33Справочник для поступающих на 2015 год.pdf
#
10.06.20154.57 Mб219Справочник по математике.pdf
#
10.06.20151.16 Mб77справочник по физике.pdf
#
01.04.20251.33 Mб1Справочник.doc
#
01.04.20251.14 Mб10Сравочник по ПиРЭЭ.doc
#
07.09.2019253.95 Кб10средние-студ.doc
#
10.06.2015253.27 Кб1433СТАНДАРТЫ.docx