Справочник по математике

120

Таблица 61

Производная по направлению, градиент

Понятие

Определение, формула

Свойства

1. Производ-

z

1) Если направление

задано

ная функции

вектором l ( X ,Y , Z ) , то

l

u f (x, y, z)

P

P

1

cos X , cos Y , cos Z ,

по направле-

O

y

нию

l

l

l

x

X 2 Y 2 Z 2 ;

u

lim

u(P ) u(P)

,

где l

1

l

u

l 0

2)

Пр grad u ;

l PP

;

1

u

u

u cos

u cos

3)

gradu ,

max

x

y

если направление вектора l

u cos ,

совпадает с направлением век-

z

тора gradu ;

u

, Ox ,

, Oy ,

4)

gradu ,

min

, Oz

если направление вектора l

2. Градиент

Градиент – это вектор

противоположно направлению

функции

gradu

u

i

u

j

u

k

вектора gradu ;

u f (x, y, z)

x

y

z

u

0 ,

5)

если вектор l перпендикулярен

вектору gradu

Понятие, условие

Определение, формулировки

1. Точка максимума

z

z f (x, y)

z

z f ( x, y)

M1(x1, y1)

и точка минимума

M2(x2, y2)

O

O

y

функции z f (x, y)

y

x M

(x , y )

x

M 2 ( x2 , y2 )

(точки экстремума)

1

1

1

f (x2, y2) f (x, y)

f (x1, y1) f (x, y)

(x, y) окрестности точки

(x, y) окрестности точки

M1(x1, y1)

M2(x2, y2)

2. Необходимое ус-

M0(x0, y0) –

точка экстремума дифференцируемой

ловие экстремума

z

(x , y

) 0,

функции z f (x, y)

x

0

0

zy (x0, y0 ) 0

3. Критическая точ-

ка M0(x0, y0)

zx (x0, y0) 0 ,

zy (x0, y0) 0

функции z f (x, y)

4. Достаточное ус-

M0(x0, y0) – критическая точка,

2

.

ловие экстремума

zxx

zyy

(zxy )

1)

(M0) 0

M0 – точка экстремума:

M0

– точка минимума,

zxx (M0) 0

M0

– точка максимума;

zxx (M0) 0

2) (M0) 0

экстремума нет (седловая точка или

точка минимакса);

3) (M0) 0

неопределенный случай (необходимо

дополнительное исследование)

5. Условный экс-

1) Функция Лагранжа F(x, y) f (x, y) (x, y) ;

тремум функции

(x, y)

0,

z f (x, y) – экс-

Fx

fx

x

M0(x0, y0) , 0 ;

тремум, достигну-

2)

Fy

(x, y)

f y

y

0,

тый при заданном

(x, y) 0,

условии (x, y) 0

3)

d

2

2

2

,

F Fxxdx

2Fxydxdy Fyydy

d 2F

M0 , 0

0

M

0

– точка условного максимума,

d 2F

M0 , 0

0

M

0

– точка условного минимума

1. Найти

z

,

z

функции z 2x2 y3

x

ln x y .

x

y

y

Решение:

z

4xy3

1

1

,

z 6x2 y2

x

1.

y2

x

y

x

y

2.

Найти

dz

сложной

функции

z eu

2

v

2

u3 v3 ,

u cos2 x ,

dx

v 2sin x при x 0 .

Решение: Находим производные:

z

2ueu2 v2

3u2

, z

2veu2 v2

3v2

,

du

2cos xsin x

,

dv

2cos x .

u

v

dx

dx

Согласно формуле (58.2.а) имеем

dz

z du

z dv

2

v

2

2

v

2

2ueu

3u

2 sin 2x 2

2veu

3v2 cos x .

u dx

v dx

dx

Так как при x 0

имеем u 1, v 0, то

dz

2e 3 0 2 2

0 e 3 0 1 0 .

dx

dy

x 0

3. Найти

неявной функции ln(x2 y2) 2xy2 3x y 0.

dx

Решение: Находим: F(x, y) ln(x2 y2) 2xy2 3x y ,

2x

2

2 y

2 y

3

4xy 1.

Fx

, Fy

x2 y2

x2 y2

2x

2 y2

3

dy

x2

y2

Согласно формуле (58.3.а) имеем

.

dx

2 y

4xy

1

x2 y2

4. Найти экстремумы функции z y2 x2 y 2xy .

z

Решение: Находим критические точки:

2xy 2 y,

2 y(x 1) 0,

y 0,

x 1,

x

z

2 y x2

2x

0,

или

2x,

2 y x2

0,

x2 2x

2 y 1 0.

y

Следовательно, критическими являются точки M (0,0) , M

2

(2,0) ,

M

3

(1,

1

) .