Справочник по математике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МАТЕМАТИКА

Справочник

7-е изд-е,

перераб. и доп.

Казань 2012

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МАТЕМАТИКА

Справочник

7-е изд-е,

перераб. и доп.

Казань 2012

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие………………………………………..……………...…………..….7

Список обозначений и условных и сокращений……………………………….8

1.Линейная алгебра………….………………………………………………....9

1.Определители…………………………………………………………..9

2.Свойства определителей……………………………………………...10

3.Матрицы……………………………………………………………….11

4.Системы линейных уравнений……………………………………….14

5.Линейные пространства и линейные операторы……………………17

6.Квадратичные формы и евклидовы пространства………………….19

Варианты самостоятельной работы по теме «Линейная алгебра»…….23

2.Векторная алгебра…………………………………………….….................27

7.Вектор на оси, плоскости и в пространстве…………………………27

8.Декартова система координат ……………………………………….28

9.Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат…...30

10.Линейные операции над векторами………………………………….31

11.Скалярное произведение векторов…………………………………..32

12.Векторное произведение векторов…………………………………..33

13.Смешанное произведение векторов………………………………….34

Варианты самостоятельной работы по теме «Векторная алгебра»……35

3.Аналитическая геометрия……………………………………………….…39

14.Прямая на плоскости………………………………………………….39

15.Взаимное расположение прямых на плоскости……………………..40

16.Кривые второго порядка……………………………………………...41

17.Плоскость……………………………………………………………...43

18.Взаимное расположение прямых и плоскостей……………………..44

19.Прямая в пространстве………………………………………………..45

20.Поверхности второго порядка………………………………………..46 Варианты самостоятельной работы по теме

«Аналитическая геометрия»……………………………………………...48

4.Введение в математический анализ……………………………………….52

21.Основные числовые множества ……………………………………..52

22.Подмножества множества R (интервалы)……………..…………….52

23.Логические символы………………………………………………….53

24.Определение функции, основные понятия………………………….53

25.Преобразование графиков функций ……………..………………….54

26.Основные свойства функции…………………………………………56

27.Основные элементарные функции…………………………………...57

28.Поведение функции на бесконечности……………………………...60

29.Поведение функции в точке………………………………………….61

30.Теоремы о пределах………………………………………………......62

31.Таблица эквивалентностей…………………………………………...63

32.Понятие непрерывности функции. Точки разрыва функции………64

4

33.Свойства непрерывных функций…………………………………….66

Варианты самостоятельной работы по теме «Пределы»……………….67

5.Производная и дифференциал……………………………….…………….71

34.Производная функции………………………………..………..……...71

35.Формулы и правила дифференцирования ………………………......72

36.Формулы и методы дифференцирования некоторых функций……73

37.Дифференциал функции…………………………………………..….74 Варианты самостоятельной работы по теме «Производная и дифференциал»………………………………………....75

6.Применение дифференциального исчисления к исследованию функций, построение графиков………………………………………………80

38.Основные теоремы дифференциального исчисления …………..….80

39.Свойства функции на интервале……………………………………..82

40.Характерные точки функции…………………………………………83

41.Асимптоты графика функции y f x …..…………………………84

42.Исследование функции……………………………………………….85

Варианты самостоятельной работы по теме

«Исследование функций»………………………………………………...86

7.Векторные функции и комплексные числа ……………………….….....91

43.Векторная функция скалярного аргумента………………………….91

44.Касательная и нормальная плоскость к кривой……………………..91

45.Параметрические уравнения линии………………………………….92

46.Производная длины дуги кривой, кривизна кривой………………..93

47.Формы комплексного числа………………………………………….94

48.Значения тригонометрических функций…………………………….94

49.Действия над комплексными числами………………………………95

Варианты самостоятельной работы на тему «Комплексные числа»…..96

8.Неопределенный интеграл…………………………………………………98

50.Определение, свойство линейности и методы интегрирования…...98

51.Дифференциалы и неопределенные интегралы…………………….99

52.Интегрирование рациональных дробей……………………………101

53.Интегрирование тригонометрических функций…………………..103

54.Интегрирование иррациональных функций……………………….104

Варианты самостоятельной работы по теме

«Неопределенный интеграл»…………………………………………....106

9.Определенный интеграл…………………………………….………….....109

55.Вычисление определенного интеграла……………………………..109

56.Несобственные интегралы…………………………………………..110

57.Геометрические и физические приложения определенного интеграла……………………………………………………………..112

Варианты самостоятельной работы по теме

«Определенный интеграл»………………………………………….…..115

10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных ……………………………………………………………………118

60.Касательная плоскость и нормаль к поверхности…………………119

61.Производная по направлению, градиент…………………………...120

62.Экстремумы дифференцируемой функции двух переменных……121 Варианты самостоятельной работы по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»……………………….122

11.Обыкновенные дифференциальные уравнения……………………...126

63.Дифференциальные уравнения первого порядка, общие понятия 126

64.Дифференциальные уравнения 1-го порядка,

методы интегрирования……………………………………………..127

65.Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной………………………………………….129

66.Дифференциальные уравнения высшего порядка, общие понятия……………………………………………………………….130

67.Дифференциальные уравнения высшего порядка, допускающие понижения порядка………………………………………………….131

68.Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка……..132

69.Линейные однородные уравнения высшего порядка

спостоянными коэффициентами…………………………………..133

70.Линейные неоднородные уравнения высшего порядка

спостоянными коэффициентами…………………………………..134 Варианты самостоятельной работы по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения»………………………………………...135

71.Числовые ряды………………………………………………………139

72.Признаки сходимости числовых рядов…………………………….140

73.Функциональные ряды………………………………………………142

74.Степенные ряды……………………………………………………...143

75.Основные разложения элементарных функций в ряд Тейлора…..144

76.Тригонометрические ряды Фурье…………………………………..145 Варианты самостоятельной работы по теме «Ряды»………………….146

77.Двойные интегралы………………………………………………….154

78.Приложения двойных интегралов………………………………….155

79.Тройные интегралы………………………………………………….156

80.Приложения тройных интегралов ………………………………….157

81.Криволинейные интегралы………………………………………….166

82.Приложения криволинейных интегралов………………………….168

83.Поверхностные интегралы………………………………………….169

Варианты самостоятельной работы по теме «Криволинейные и поверхностные интегралы»……………………………………………..171

6

84.Скалярные поля……………………………………………………...179

85.Векторные поля……………………………………………………...180

86.Дифференциальные операции теории поля………………………..182 Варианты самостоятельной работы по теме «Теория поля»………….183

16. Сведения из элементарной математики………………………….........189

Библиографический список……………………………………………………194

Алфавитный указатель…………………………………………………………195

7

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основная задача, которая стояла перед авторами настоящего пособия, – дать в небольшом по объему справочнике основные сведения по математике, необходимые в учебной практике студентам Казанского государственного энергетического университета.

Справочная информация отобрана в соответствии с учебной программой по курсу «Высшая математика» и предназначена для студентов технических и экономических специальностей. Основные теоретические сведения, определения и формулы размещены в таблицах и систематизированы по темам, перечисленным в аннотации. В конце каждой темы приведено по три варианта контрольных заданий. Первый вариант снабжен подробными решениями всех задач, а второй и третий варианты – ответами. Это обстоятельство дает студентам возможность проверить себя при подготовке к зачету или экзамену, а преподавателю – использовать справочник при проведении контрольных практических занятий.

В последнем разделе приведены основные сведения из элементарной математики.

Следует иметь в виду, что это не учебник и не конспект учебника, а справочник, основное назначение которого – дать возможность студенту быстро найти нужное понятие, теорему или формулу с целью использования их при решении практических задач. Для облегчения поиска в конце книги приведен алфавитный указатель основных понятий.

8

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И УСЛОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ

(цифры в скобках обозначают номер таблицы, в которой данное обозначение встречается впервые)

– для любого (23)– существует (23)

N – множество натуральных чисел (21) Z – множество целых чисел (21)

Q – множество рациональных чисел (21) R – множество действительных чисел (21) Ua – окрестность точки (29)

Ua0 – проколотая окрестность (29) D y – область определений (24) E y – область значений (24)

Г f – график функции (24)

y x a – частное значение функции (24)

x – приращение аргумента (32)y – приращение функции (32)

f a 0 – левосторонний предел (29) f a 0 – правосторонний предел (29) x y – х эквивалентно у (30, 31)

kкас – угловой коэффициент наклона касательной (34) dydx – производная (34)

z – частная производная (58)

x

dy – дифференциал (37) gradu – градиент (61)

sh x – гиперболический синус (27) ch x – гиперболический косинус (27) th x – гиперболический тангенс (27)

cth x – гиперболический котангенс (27)

б.м.ф. – бесконечно малая функция (28, 29, 31) б.б.ф. – бесконечно большая функция (28, 29) т. max – точка максимума (40)

т. min – точка минимума (40) т.п. – точка перегиба (40)

i – мнимая единица (47)

9

1. Линейная алгебра

Таблица 1

Определители