Пара сил. Момент пары

Определение. Парой сил называется совокупность двух равных по величине, параллельных и противоположно направленных сил (рис. 2.9)

Плоскость П, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия пары. Расстояние h между силами пары называется плечом пары.

Рис . 2.9

Найдем главный вектор и главный момент пары

.

Выберем произвольную точку пространства О (рис.3.9). По определению главного момента

(2.19)

Вывод: Главный момент пары сил не зависит от выбора точки О, является свободным вектором и равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы пары. Он называется моментом пары и обозначается .

, пл. П.

По модулю

.

Таким образом, для этой простейшей системы сил главный вектор равен нулю, а главный момент относительно любой точки равен моменту пары.

Свойства пар сил

1. Пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно переносить куда угодно в плоскости действия пары.

2. У пары, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно произвольно менять модули сил и длину плеча, сохраняя ее момент.

3. Пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно перенести из данной плоскости в любую другую плоскость, параллельную данной.

Теорема эквивалентности пар

Для эквивалентности двух пар необходимо и достаточно, чтобы их моменты были равны.

Теорема доказывается на основании перечисленных свойств пар, т.е. путем изменения плеча и перемещения пары в плоскости действия пары. Пары с одинаковыми моментами могут быть преобразованы одна в другую.

Теорема сложения пар

Система, состоящая из нескольких пар ,, …,эквивалентна одной паре, момент которой равен геометрической сумме моментов заданных пар:

,

.

Докажем теорему для двух пар с моментамии, лежащих в плоскостяхI и II.

Рис.2.10

Возьмем на линии пересечения плоскостей отрезок АВ=d и изобразим пару с моментом силами, а пару с моментом- силами. Сложив силы в точкахА и В, убеждаемся, что пары идействительно эквивалентны одной паре. Найдем момент этой пары. Так как, тои следовательно.

Последовательно применяя результат, полученный для двух пар, найдем, что данная система пар будет эквивалентна одной паре с моментом

.

Условия равновесия пар

Для того, чтобы система пар сил составляла уравновешенную систему необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары равнялся нулю

,

так как если М=F ·h =0, то либо F=0, либо плечо пары h =0 и силы пары будут противоравными. Тогда на основании аксиомы А1 они составят уравновешенную систему сил. Обратно, если силы, составляющие пары уравновешены, то на основании аксиомы А1 они являются противоравными и плечо пары h =0. Следовательно, М=F· h =0.

Лекция 3

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ

Элементарные преобразования системы сил

Элементарными преобразованиями системы сил являются присоединение к ней или отбрасывание двух противоравных сил, перенос сил вдоль линий их действия, сложение и разложение сил по аксиоме А3.

Свойства элементарных преобразований

1. Элементарные преобразования переводят систему сил в другую систему, ей эквивалентную.

2. Элементарные преобразования не меняют векторные характеристик системы сил – главного вектора и главного момента системы сил ни для какой точки.

Теорема о параллельном переносе силы

Силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить параллельно самой себе из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.

Доказательство:

а) б) в)

Рис. 3.1

, ,

,

пара ).

Теорема о приведении системы сил к силе и паре:

Любую систему сил, приложенную к твердому телу, элементарными преобразованиями можно привести к одной силе, равной главному вектору системы сил и приложенной в произвольно выбранной точке О и к паре момент которой равен главному моментуданной системы сил относительно точки О.

Доказательство:

а) б) с)

Рис. 3.2

Пусть на твердое тело действует произвольная система сил ,(рис.3.2 а)). Выберем какую-нибудь точкуО за центр приведения и пользуясь теоремой Пуансо перенесем все силы в центр О, присоединения при этом соответствующие пары. Тогда на тело будут действовать система сил , приложенная в точкеО, и система пар, моменты которой ,,….,. Сходящие силы по аксиоме А3 заменим одной силой, которая по определению равна главному вектору (рис.3.2 с))

Чтобы сложить пары, нужно сложить моменты этих пар (рис. 3.2 с))

- главный момент системы сил по определению.

(3.1)

Теорема доказана.

Замечание. Значение от выбора центраО не зависит, значение же при изменении центра О может в общем случае измениться.