Связь между моментами силы относительно оси и произвольной точки этой оси

Пусть даны сила и осьl. Возьмем произвольную точку О на оси l и найдем вектор (рис. 2.5). Обозначим γ угол, который составляет векторс осьюl. Возьмем другую точку на осиl и проводим через нее плоскость П перпендикулярную оси l. Спроектируем силу на плоскость П. Из геометрии известно, что если нормали к двум плоскостям составляют угол γ, то и плоскости составляют этот угол и для площадей треугольников справедлива формула:

. (2.8)

Домножим формулу (2.8) на два:

. (2.9)

В формуле (2.9)

,

.

Следовательно

или

.

Рис. 2.5

Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось момента силы относительно любой точки этой оси.

Главный вектор системы сил

Пусть дана система сил .

Определение. Главным вектором системы сил называется вектор, равный геометрический сумме векторов всех сил системы

. (2.10)

Главный вектор не является силой. Это свободный вектор, полученный формальным сложением, перенесенных в любую точку векторов сил системы (рис. 2.6).

Способ нахождения главного вектора системы сил

Выберем некоторую систему координат Oxyz. По отношению к этой системе координат силы можно разложить по ортам :

, ,

. (2.11)

По определению

. (2.12)

Рис. 2.6

С другой стороны

. (2.13)

Сравнивания формулы (3.12) и (3.13), определяем проекции главного вектора системы сил на оси Ox, Оy, Оz:

, ,.

Тогда по модулю

. (2.14)

Направление главного вектора системы сил определяется направляющими векторами:

, ,(2.15)

Главный вектор всегда можно найти, в отличие от равнодействующей.

Пример. Силы ине пересекаются в одной точке, следовательно, не эквивалентны одной силе, то есть равнодействующей.

Главный вектор можно взять в любой точке, напримерО (рис.2.7).

Рис. 2.7

Главный момент системы сил

Пусть имеем систему сил, действующую на материальный объект . Выберем также произвольную, фиксированную точкуО.

Определение. Главным моментом системы сил относительно некоторой точки О является приложенный в этой точке вектор, равным геометрической сумме моментов всех сил системы относительно этой точки

. (2.16)

Способ вычисления главного момента системы сил

В точке О выберем систему координат (рис.2.8). Разложим силы и главный момент системы сил относительно точки О по ортам

, .

. (2.17)

По определению

(2.18)

Рис. 2.8

Сравнивая формулы (2.17) и (2.18), получим

,

,

.

Тогда модуль главного момента системы сил равен

.

Направление главного момента определится направляющими косинусами ,,.

Главный момент системы сил существенным образом зависит от выбора точки О, в отличие от главного вектора, который от выбора точки О не зависит.