FTF 2 semestr.MAVRODI / 77

Сходимость ряда Фурье в точке

Пусть f (x) является кусочно гладкой функцией в интервале [−π, π]. Тогда для любого

где f (x0 − 0) и f (x0 + 0) представляют собой, соответственно, левосторонний и правосторонний пределы в точке x0.

Равномерная сходимость ряда Фурье

Говорят, что последовательность частичных сумм ряда Фурье {fN (x)} сходится равномерно к функции f (x), если скорость сходимости частичных сумм fN (x) не зависит от x (рисунок 3). Будем говорить, что ряд Фурье функции f (x) сходится равномерно к этой функции, если

Теорема. Ряд Фурье 2π-периодической непрерывной и кусочно гладкой функции сходится равномерно.

Сходимость ряда Фурье в пространстве L2

Пространство L2 (−π, π) образовано функциями, удовлетворяющими условию

Будем говорить, что функция f (x) является квадратично интегрируемой, если она принадлежит классу L2. Если f (x) квадратично интегрируема, то

то есть частичные суммы fN (x) сходятся к f (x) в смысле среднего квадратичного.

Из равномерной сходимости ряда Фурье следует как сходимость в точке, так и сходимость в пространстве L2. Обратное утверждение неверно: сходимость в пространстве L2 не означает, что ряд Фурье сходится в точке или равномерно, и, аналогично, из сходимости в точке не вытекает равномерная сходимость или сходимость в пространстве L2.