FTF 2 semestr.MAVRODI / 8

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) определена в некоторой окрестности точки a = (a1, a2, … , an) О Rn (включая саму точку a).

Определение 1. Функция u = f(x) называется непрерывной в точке a, если

lim f(x) =f(a). x → a

Обозначим приращения аргументов символами x1 = x1 − a1, x2 = x2 − a2, …, xn = xn − an. Соответствующее приращение функции u=f(x)

u = f(a1 + x1, a2 + x2, … , an + xn) − f(a1, a2, … , an).

называется полным приращением функции u=f(x) в точке a, соответствующим прирашению x = {Δx1, x2, …, xn}.

Условие, определяющее непрерывную функцию u = f(x) в точке a эквивалентно условию lim u = 0

x → 0

Приращение δxku = f(a1, … , ak + xk, … , an) − f(a1, a2, … , an)

называется частным приращением функции u в точке a, соответствующим приращению xk аргумента xk.

Определение 2. Функция u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) называется непрерывной в точке a = (a1, a2, … , an) по переменной xk , если

lim δxku = 0. xk → 0

Теорема 1. Если функция u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) непрерывна в точке a, то она непрерывна в этой точке по каждой переменной x1, x2, … , xn .

Обратное утверждение неверно.

Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x) , определены в области D М Rn и непрерывны в точке a = (a1, a2, … , an) О D .

Тогда функции f(x) + g(x) , f(x) · g(x) и f(x)/g(x) (при g(a) ≠ 0) непрерывны в точке a

Доказательство получается из определения непрерывности функции в точке и теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух функций.

Теорема 3. Всякая элементарная функция нескольких переменных непрерывна на множестве, на котором она определена.

Теоремы о свойствах функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы для функции нескольких переменных, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве (компакте):

Теорема 4. Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, ограничена на этом множестве.

Теорема 5 (Вейерштрасс). Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве своего наибольшего и наименьшего значений.