FTF 2 semestr.MAVRODI / Список вопросов
.docxВопросы к экзамену по математическому анализу
для студентов ФТФ 1 курса (2 семестр)
-
n – мерное евклидово пространство. Сходимость в евклидовом пространстве.
-
Открытые множества в евклидовом пространстве.
-
Замкнутые множества в евклидовом пространстве.
-
Компактные множества в евклидовом пространстве. Полнота евклидова пространства.
-
Граница множества. Связные и выпуклые множества в евклидовом пространстве.
-
Предел функции многих переменных.
-
Различные типы пределов функции многих переменных (предел по множеству, предел по направлению, бесконечные пределы, повторные пределы).
-
Непрерывность функций многих переменных. Свойства функций многих переменных непрерывных в точке.
-
Свойства функций многих переменных непрерывных на множествах.
-
Дифференцируемость функций многих переменных.
-
Необходимое условие дифференцируемости функций многих переменных. Достаточные условия дифференцируемости функций многих переменных.
-
Дифференцирование сложных функций многих переменных.
-
Формула конечных приращений для функции многих переменных. Производная по направлению. Градиент.
-
Производные высших порядков функций многих переменных.
-
Дифференциалы высших порядков функций многих переменных.
-
Неявные функции. Теорема о существовании и дифференцируемости неявных функций.
-
Формула Тейлора для функции многих переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.
-
Необходимые условия экстремума функции многих переменных.
-
Достаточные условия экстремума функции многих переменных.
-
Условный экстремум функции многих переменных. Прямой метод отыскания точек условного экстремума.
-
Метод множителей Лагранжа. Теорема Лагранжа.
-
Необходимые условия условного экстремума. Достаточные условия условного экстремума.
23. Наибольшее и наименьшее значения функции многих переменных.
24. Мера Жордана. Определение кратного интеграла.
25. Критерий интегрируемости. Классы интегрируемых функций многих переменных.
26. Свойства кратных интегралов.
27. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу.
28. Сведение тройного интеграла к повторному интегралу.
29. Замена переменных в кратных интегралах.
30. Использование полярных координат при вычислении двойных интегралов.
31. Использование цилиндрических координат при вычислении тройных интегралов.
32. Использование сферических координат при вычислении тройных интегралов.
33. Криволинейные интегралы первого рода.
34. Криволинейные интегралы второго рода.
35. Формула Грина.
36. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования (плоский случай).
37. Критерий потенциальности плоского векторного поля.
38. Поверхности в пространстве R3.
39. Площадь поверхности.
40. Поверхностные интегралы первого рода.
41. Поверхностные интегралы второго рода.
42. Формула Остроградского – Гаусса.
43. Соленоидальные векторные поля.
44. Формула Стокса. Потенциальные поля в пространстве R3.
45. Сходимость числовых рядов. Необходимое условие сходимости числового ряда.
46. Свойства сходящихся числовых рядов.
47. Интегральный признак сходимости числового ряда.
48. Признаки сравнения числовых рядов.
49. Признак Даламбера сходимости числового ряда.
50. Признак Коши сходимости числового ряда.
51. Критерии сходимости числовых рядов.
52. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов и его следствия.
53. Признаки Дирихле и Абеля сходимости числовых рядов.
54. Абсолютная сходимость числовых рядов. Простейшие свойства.
55. Перестановка членов в абсолютно сходящихся рядах и перемножение абсолютно сходящихся рядов.
56. Условно сходящиеся числовые ряды. Теорема Римана.
57. Сходимость и равномерная сходимость функциональной последовательности и функционального ряда.
58. Критерии равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда.
59. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
60. Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости функционального ряда.
61. Непрерывность суммы функционального ряда.
62. Почленное интегрирование функционального ряда.
63. Почленное дифференцирование функционального ряда.
64. Степенные ряды. Теорема Абеля.
65. Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши – Адамара.
66. Свойства степенных рядов.
67. Ряд Тейлора.
68. Интегральная форма остаточного члена формулы Тейлора.
69. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.
70. Ортогональные системы функций.
71. Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье.
72. Лемма Римана.
73. Ядро Дирихле и его свойства.
74. Формула Дирихле.
75. Принцип локализации.
76. Условие Гёльдера.
77. Сходимость ряда Фурье в точке.