FTF 2 semestr.MAVRODI / 72
.pdf
Лемма (Риман-Лебег):
Пусть |
, тогда при коэффициенты ряда Фурье |
, |
. |
|
|
|
|
Доказательство: |
|
|
|
.
Пусть 
— полином наилучшего приближения функции 
, степени, не большей 
, в
пространстве 
.
Так как это сумма вида , то, по свойству тригонометрических функций,
выполняется:
.
|
|
. |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
, то есть |
|
. |
По обобщенной теореме Вейерштрасса, |
, следовательно, |
. |
||
Доказательство для |
аналогично приведенному выше. |
|
|
|
Следует иметь в виду, что |
не стремится к 0, поэтому грубая оценка, |
|||
что |
|
ни к чему не ведет. То, что лемма Римана-Лебега была написана для |
||
-периодичных функций не имеет принципиального значения, так как на самом деле справедлив общий факт:
Лемма (Риман-Лебег):
Пусть |
, тогда |
при |
. |
|
|
|
|
Доказательство: |
|
|
|
На самом деле обе леммы равносильны.
1.Первая получается из второй, если подставить 
вне отрезка 
.
2.В обратную сторону: так как интеграл от модуля функции сходится, то
необходимо 
. На отрезке 
можно сжать интервал интегрирования в 
.
Из леммы Римана-Лебега получается важный результат, называемый принципом локализации Римана рядов Фурье.