FTF 2 semestr.MAVRODI / 70
.pdf
Понятие ортогональной системы функций
Определение1. Система (множество, совокупность) функций, определенных на отрезке 
, называется ортогональной на этом отрезке,
если |
при |
и |
при 
, то есть .
Определение 2. Система
функций 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…,cosnx, sinnx называется тригонометрической.
Заметим, что все функции, входящие в систему:
φ1(х)=1,
φ2(х)=cosx,
φ3(х)=sinx,
φ4(х)=cos2x,
φ5(х)=sin2x,…
являются периодическими с общим наименьшим положительным периодом 2π.
В самом деле, φ1(х)=1—периодическая с любым, отличным от нуля
периодом, функции φ2(х)=cosx и φ3(х)=sinx имеют наименьший положительный период 2π, а
функции cosпx и
sinпx имеют наименьший положительный период . Поэтому число Т = 2π является с одной стороны общим, а с другой стороны наименьшим положительным периодом для всех функций, входящих в систему.
Теорема 1. Интеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого равна положительному периоду, не зависит от выбора отрезка интегрирования.
Действительно, пусть Т > 0 - период функции f(x), а – произвольное действительное число. Докажем, что
.
По свойству аддитивности определенного интеграла
В интеграле i3 сделаем замену переменной: пусть x=t+T, тогда t=x-T, dx=dt, tв =a+T- T= a; t н = T-T = 0:
(т.к. определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования).
Получили: i3=-i1, следовательно |
, что и требовалось доказать. |
Теорема 2. Тригонометрическая система функций ортогональна на любом отрезке длины 2π.
Учитывая утверждение теоремы 1, доказательство проведем для симметричного отрезка 
. Сначала докажем ортогональность функции φ1(х)=1 ко всем остальным:
,так как при любом натуральном k функция 
нечетная, а отрезок интегрирования симметричен.
.
Теперь докажем ортогональность всех синусов всем косинусам:
при любых k и m 
N (даже при любом k = m), т.к. подынтегральная
функция нечетная.
Далее докажем ортогональность косинусов с разными аргументами, т.е.
при k ≠ m:
,
т.к. 
при любом р.
Теперь проверим ортогональность синусов с различными аргументами, т.е. при k≠m:
(см. предыдущий интеграл).
Осталось вычислить интегралы от квадратов функций системы:
Теорема доказана.
Определение 3. Функциональный ряд вида
, |
(1) |
составленный из функций тригонометрической системы с
помощью действительных чисел, 
где 
называется тригонометрическим рядом, а числа 
его коэффициентами.
Очевидно, если ряд (1) сходится и точке хо, то он сходится и в
точках 
где 
, т.к. члены ряда есть 2π—периодические функции. По той же причине и сумма ряда (1), если она существует, является 2π—периодической функцией.
Заметим, что поведение тригонометрического ряда (его сходимость или расходимость в каких-то точках) полностью определяется его коэффициентами.
Рассмотрим несколько примеров тригонометрических рядов:
1) |
. |
Здесь 
. Этот ряд расходится на всей числовой прямой, т.к. не выполняется необходимый признак сходимости: при 
п-ый член 
, а
при 
не существует.
2)
Здесь 
. Этот ряд сходится в точках 
(т.к. в них 
) и
расходится во всех остальных точках (в них 
не существует).
3) |
. |
Здесь |
. Этот ряд сходится на всей числовой прямой, причем |
абсолютно по признаку сравнения рядов с произвольными членами, |
|
т.к. |
. |