Лабораторные / Механика / Лаб 1_15_мал_ОК
.pdf
1
Л А Б О Р А Т О Р Н А Я Р А Б О Т А № 1.15 КОЛЕБАНИЯ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Цель работы: 1. изучить зависимость периода колебаний физического маятника от момента инерции.
1. измерить момент инерции маятника. Приборы и принадлежности: линейка, секундомер.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ Физическим маятником называют твердое тело, совершающее колебания
относительно горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс, под действием только силы тяжести (рис.1). На этом рисунке буквой О обозначена ось
N |
возвратно-вращательного |
движения |
(эта |
ось |
|
перпендикулярна плоскости рисунка). Расстояние от оси |
|||||
|
|||||
O |
О до центра масс обозначим L. Прямая OC в плоскости |
||||
|
чертежа совершает колебания относительно точки О. |
||||
L |
- угол отклонения прямой OC от ее положения |
||||
|
равновесия. На маятник действуют две силы – сила |
||||
C |
реакции опоры N и сила тяжести mg. Первая имеет |
||||
mg |
нулевое плечо, поэтому момент силы |
N равен нулю. |
|||
|
|||||
Рис.1 |
Момент силы тяжести равен |
|
|
|
|
|
M mgLsin |
|
(1) |
||
Этот момент создает угловое ускорение, величина которого в соответствии со
вторым законом Ньютона M :
J
|
mgLsin |
, |
(2) |
|
|||
|
J |
|
|
где J – момент инерции маятника относительно оси О. Знак « - » в (2) учитывает тот факт, что момент силы М и угол отклонения противоположны. Из (2) видно, что
|
mgL |
sin 0, |
(3) |
|
|||
|
J |
|
|
где . Колебания физического маятника, строго говоря, не гармонические. Вводя обозначение
0 |
mgL |
, |
(4) |
|
|||
|
J |
|
|
получим уравнение гармонических колебаний в виде |
|
||
02 0, |
(5) |
||
Из сравнения (3) и (5) видно, что колебания маятника будут гармоническими при α 0, т.е. когда в радианной мере sin α α. Последнее условие практически
2
выполняется при углах отклонения α 6 . Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение уравнения (5) имеет вид
|
α = α0 cosω0 t, |
|
|
|
(6) |
||
если α=α0 при t=0, т.е. маятник отклонили и, отпустив, включили секундомер. |
|
||||||
Т.к. косинус - функция периодическая, то фаза колебаний за один период T |
|||||||
изменяется на 2π, т.е. |
0T 2 , |
(7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
а с учетом (4) имеем |
T 2 |
J |
|
(8) |
|||
mgL |
|||||||
|
|
|
|
||||
Из (8) видно, что квадрат периода колебаний прямо пропорционален моменту инерции маятника J и обратно пропорционален его массе m, ускорению свободного падения g и расстоянию L. Поскольку период колебаний является функцией четырех аргументов T = f(J, m, g, L), то экспериментальная проверка зависимости (8) должна быть осуществлена путем последовательного изучения зависимостей
T2 J, когда m = const, g = const, L = const |
(9) |
T2 1/m, когда J = const, g= const, L =const |
(10) |
T2 1/g, когда J = const, m = const, L =const |
(11) |
T2 1/L, когда J = const, m = const, g =const |
(12) |
|
В данной работе экспериментально проверяется лишь зависимость (9). |
|||||
Проверка |
зависимостей (10)-(12) не выполняется, т.к. проверка |
(11) связана с |
||||
|
|
|
переменой географической широты или созданием |
|||
|
П |
|
искусственной тяжести, а проверка (10) |
и (12) |
||
|
h |
осложнена трудностью изготовления маятника, |
||||
|
|
|||||
|
|
|
удовлетворяющего |
условиям |
при |
этих |
|
|
|
зависимостях. |
|
|
|
|
|
|
Чтобы реализовать условия (9), необходимо |
|||
|
l |
|
массу физического |
маятника перераспределить |
||
|
|
|
относительно оси О так, чтобы положение центра |
|||
|
|
В |
масс маятника при изменении момента инерции не |
|||
|
|
|
изменялось. Подобное возможно, если часть |
|||
|
|
|
массы маятника в виде двух привесков сможет |
|||
С |
Ц |
Рис. 2 |
перемещаться вдоль спиц, располагающихся |
|||
|
|
|
перпендикулярно |
линии |
OC |
(рис.1). |
Конструктивно такой маятник (рис.2) представляет собой вертикальный стержень, к верхнему концу которого прикреплена трехгранная призма П из закаленной стали. Нижнее ребро призмы является осью вращения маятника. На стержень надета втулка В, к которой приварены две спицы С. Ось спиц перпендикулярна стержню и нижнему ребру призмы П. На спицы надеты цилиндры Ц, которые могут свободно перемещаться вдоль спиц и закрепляться в нужном месте винтами.
Момент инерции маятника J складывается из моментов инерции стержня J1, втулки J2, спиц J3 и цилиндров J4. Из них J1 является константой, остальные могут изменяться. Момент инерции втулки J2 относительно оси О определяется теоремой Штейнера
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
В уравнении (22) l - величина переменная, поэтому множество значений J заключено |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
J2 J2 m2 |
h |
|
, |
|
|
|
(13) |
между Jmin и Jmax. Их измерение является целью работы. Первое находим при lmin, а |
|||||||||||||||||
где J 2 - момент инерции втулки относительно оси, проходящей через ее центр масс, |
второе при lmax. Вычислив Jmin и Jmax, следует построить график зависимости T2 от J. |
||||||||||||||||||||||||||||
m2 - масса втулки, h – расстояние от оси О до центра масс втулки. Этот центр лежит |
Тем самым будет достигнута цель работы. |
||||||||||||||||||||||||||||
на оси винта, которым крепится втулка на стержне. Величина h устанавливается |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
студентом в начале работы по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
h 8 2 n (см), |
|
|
|
|
(14) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Из (14) вычислить требуемое значение h и установить его на маятнике. |
||||||||||||||||||||
где n – номер звена, выполняющего работу, в журнале преподавателя. В уравнение |
2. |
Установить привески (цилиндры) на спицах при l = lmin = 8 10 см. |
|||||||||||||||||||||||||||
(13) она подставляется в метрах. Значит, |
в |
работе данного студента |
J2 тоже |
||||||||||||||||||||||||||
3. |
Отклонив стержень маятника на 5-6 , измерить период колебаний T по времени t |
||||||||||||||||||||||||||||
постоянна. Момент инерции спиц J3 |
после установки h также постоянен. |
Момент |
|||||||||||||||||||||||||||
|
и числу колебаний N. |
||||||||||||||||||||||||||||
инерции цилиндров относительно оси О задается теоремой Штейнера |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
4. |
Повторить пункт 3 при других значениях l, увеличивая l с шагом 2 см. Провести |
|||||||||||||||||||||||||||
|
J4 |
2J40 |
2m4 (h2 l2 ), |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
(15) |
|
10 измерений. |
|||||||||||||||||||||||||
где J04 - момент инерции цилиндра относительно оси, |
проходящей через его центр |
5. |
Вычислить l2 и T2 = (t / N)2. Записать их в таблицу. |
|
|||||||||||||||||||||||||
масс, m4 - масса цилиндра, |
l |
- расстояние от центра цилиндра до оси стержня. |
l, см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
l2, см2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Изменяя величину l можно изменить момент инерции маятника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
t, c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Отделив переменную |
часть |
момента |
инерции маятника от постоянной, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
J J0 2m4l2 , |
|
|
|
|
|
(16) |
T2, c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Под |
таблицей |
записать численные значения постоянных величин m4, h. |
|||||||||||||||||
где J0 постоянная часть момента инерции |
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Оценить погрешность измерения Tmin2 и Tmax2 . |
|||||||||||||||||||
J0 J1 J2 |
J3 2J40 2m4h2 |
(17) |
8. |
На графике T2 от l2 отложить экспериментальные точки и нанести на них |
|||||||||||||||||||||||||
Уравнение (8) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
погрешность измерения в виде разносок. |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
4 2 |
|
2 4 2m |
|
2 |
|
|
9. |
Провести искомую прямую, найти ее параметры k и b, оценить погрешности k, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
b. |
||||||||||||||
T |
|
mgL J0 |
mgL |
|
|
l |
|
, |
(18) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
10. |
Вычислить постоянную составляющую момента инерции J0 по формуле (21). |
||||||||||||||||||||||||
т.е. T2 прямо пропорционально зависит от l2. Если построить график зависимости |
|
Вычислить Jmin и Jmax по формуле (22). По двум точкам построить график |
|||||||||||||||||||||||||||
T2 = f(l2), то должна получиться прямая линия. Наклон этой прямой определяется |
|
зависимости T2 от J. |
|||||||||||||||||||||||||||
выражением
k 2 4 2m4 , mgL
а отрезок b, отсекаемый на оси ординат, выражением
b 4 2 J0 mgL
решение системы (19)-(20) относительно J0 дает
J0 2m4b k
С учетом (16) момент инерции маятника
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
(19)1. Какое свойство твердого тела характеризует его момент инерции?
2.Как можно изменить момент инерции маятника – уменьшить, увеличить?
3.Что такое физический маятник?
4.При каком условии колебания маятника являются гармоническими?
(20)5. Как измениться график T2 = f(l2), если изменить расстояние h?
6.Как выглядит график зависимости T2 = f(J)?
7.Как организовать методику исследований, чтобы на маятнике этой конструкции проверить условие (12)?
(21)8. Предложите конструкцию маятника, в котором изменялось бы L при постоянных
J, m, g.
J |
2m4b |
2m4l2 |
(22) |
|
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА |
|
1. |
Трофимова Т.И., Курс физики, М., Высшая школа, 1990, с. 222-223, 31-33. |
|||||
|
||||||
|
k |
|
2. |
Савельев И. В., Курс общей физики, т.1, М., Наука, 1986, с. 197,198, 141-145. |
||