Лабораторные / Механика / ЛАБ 1_16_мал

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1.16

ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА НА ПРИМЕРЕ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: проверить справедливость теоремы Штейнера на примере колебаний физического маятника; измерить массу цилиндра.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ Мерой инертности тела при поступательном движении является его масса.

Инертность же вращающегося тела зависит не только от его массы, но и от того,

как эта масса распределена относительно оси вращения. Поэтому во вращательном движении в качестве меры инертности вводится физическая величина, называемая моментом инерции.

Моментом инерции тела относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадрат их расстоянийдорассматриваемойоси:

i 1

где ri – расстояние от оси вращения до рассматриваемой точки.

Из определения видно, что момент инерции есть величина аддитивная. Это означает, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.

Понятие момента инерции часто связывают с вращением тел. Однако следует отметить, что эта величина существует независимо от вращения. Каждое тело, независимо вращается оно или нет, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как любое тело обладает массой независимо от того, движется оно или нет.

В случае непрерывного распределения масс соотношение (72) сводится к интегралу:

где ρ – плотность вещества.

Интеграл берется по всему объему тела; величины ρ и R являются функциями положения точки в теле.

Нахождениемомента инерции значительно упрощается, если тело однородно и симметрично, а момент инерции находится относительно оси симметрии. Если бы было необходимо найти момент инерции тела относительно любой другой оси, вычисления оказались бы гораздо более сложными. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера, которая формулируется следующим образом:

моментинерцииJотносительнопроизвольнойосировенсуммемоментаинерцииJc

относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и

произведениямассытелаmнаквадратрасстоянияамеждуосями,тоесть:

J=Jc+ma2. (73)

Применяя теорему Штейнера и понятие момента инерции, можно подсчитать моментинерциидлялюбойосивращениятвердоготела.

Момент инерции можно не только вычислить, но и измерить косвенным путем. Одним из таких способов является измерение момента инерции на физическом маятнике.

Физическим маятником называют твердое тело, совершающее колебания относительно горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс, под действием силы тяжести (рис. 10).

(74)

Поскольку маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О , то оно может быть описано основным законом динамики вращательного движения:

M = J ε . (75)

Момент силы Fτ создает угловое ускорение ε, величина которого в соответствии с основным законом динамики вращательного движения равна:

mgRsin , J

где J – момент инерции маятника относительно оси О.

В случае физического маятника период колебаний будет находиться по формуле:

T 2 J mgR

Из (77) видно, что квадрат периода колебаний прямо пропорционален моменту инерции маятника J и обратно пропорционален его массе m, ускорению свободного падения g и расстоянию R. Это расстояние определяет положение центра масс маятника, которое вычисляется по теореме о центре масс, т.е.:

i mi

В данной работе для определения момента инерции и проверки теоремы Штейнера используется физический маятник, представляющий собой стержень – 1,

на котором закреплены опорная призма – 2 и цилиндр – 3 (рис. 11). В этом случае положение центра масс определяется из выражения :

где тст – масса стержня; тц – масса цилиндра; l – длина стержня; Н – расстояние от оси вращения (т. О) до центра масс цилиндра.

требуемом положении. Стержень 1 имеет кольцевые проточки, нанесенные через

10 мм, которые служат для надежной фиксации цилиндра, а также для отсчета расстояния Н.

На нижнем кронштейне закреплен фотоэлектрический датчик 7,

соединенный кабелем с комбинированным миллисекундомером 6. Нижний кронштейн с датчиком может быть перемещен как вдоль, так и вокруг вертикальной стойки и зафиксирован в любом положении. Миллисекундомер предназначен для измерения времени и подсчета количества колебаний физического или математического маятника. Во время колебаний маятник пересекает световой поток фотоэлектрического датчика, и сигнал с датчика поступает на миллисекундомер. При первом пересечении маятником светового потока начинается отсчет количества колебаний и их времени, результаты измерений высвечиваются на табло “ПЕРИОДЫ” и “ВРЕМЯ”. Отсчет указанных параметров заканчивается после нажатия кнопки “СТОП” и завершения начатого колебания.

МЕТОДИКА И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Убедиться, что нижний кронштейн установлен таким образом, что стержень физического маятника пересекает оптическую ось фотодатчика.

2.Включить в сеть шнур питания миллисекундомера.

3.Нажать на кнопку “СЕТЬ”, расположенную на лицевой панели миллисекундомера, при этом должны загореться лампочка фотодатчика и цифровые индикаторы миллисекундомера.

4.Дать миллисекундомеру 1-2 мин. прогреться.

5.Установить цилиндр 3 физического маятника на максимальное расстояние Н от призмы 2.

6.Отклонить маятник на угол 4 - 5°. Нажать кнопку “СБРОС” на миллисекундомере и убедиться, что на индикаторах установились нули. Маятник отпустить без толчка.

7.По миллисекундомеру определить время десяти колебаний, для чего

при высвечивании на панели “ПЕРИОДЫ” числа “9” (полностью закончились девять колебаний и началось десятое) нажать кнопку “СТОП”. После завершения десятого колебания отсчет времени прекратится, на панели “ПЕРИОДЫ” высветится число “10”, а на панели “ВРЕМЯ” - время десяти колебаний. Используя эти данные, вычислить период колебаний по формуле

T = t/n , где t - время колебаний, n - число колебаний.

8.Уменьшая величину Н, измерить периоды колебаний для пяти

положений.

9.На каждом положении Н провести по пять измерений периода Т.

10.Результаты измерения Н и T занести в табл.11.

11.По шкале определить длину l стержня.

12.Рассчитать значение величин Н2 и Т2.

13.Определить R для каждого Н по формуле (79), а также значение момента инерции маятника J по формуле (83). Результаты занести в таблицу 12.

14.Рассчитать погрешность для величины T2 для первой и последней

точки.

15.Построить график зависимости J = f(H2).

16.По графику зависимости J = f(H2) определить значение Jo.

17.Сделать выводы по результатам работы.

Таблица 11 – Результаты измерений на физическом маятнике

Таблица 12 – Вычисляемые параметры физического маятника

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какое свойство твердого тела характеризует его момент инерции?

2.Когда можно применять теорему Штейнера?

3.Что такое физический маятник?

4.Как можно изменить момент инерции маятника – уменьшить,

увеличить?

5.Как выглядит график зависимости T2 = f(J)?

ЛИТЕРАТУРА

1.Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 2001.

2.Савельев И. В. Курс общей физики. Т.1, М.: Наука, 2002.