ответы на матстат / 15

Линейная корреляционная зависимость, выборочный коэффициент регрессии

Статистическая зависимость между случайными величинами Х и У называется корреляционной, если каждому значению одной случайной величины соответствует определенное (условное) среднее значение другой случайной величины.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины У при {Х = х} называется сумма произведений возможных значений случайной величины У на их условные вероятности:

,

где - условная вероятность события {У = у_i} при условии {Х = х}

Для непрерывной случайной величины У:

,

где - условная плотность распределения непрерывной случайной величины У при условии {Х = х}

Уравнение у = f (х) (х = φ (у)) называется уравнением регрессии У на Х (Х на У), а линия на плоскости, соответствующая этому уравнению, называется линией регрессии У на Х (Х на У).

Функции f (х) и φ (у) – функции регрессии У на Х и Х на У.

Линия регрессии У на Х (Х на У) показывает, как, в среднем, зависит У от Х (Х от У).

Условным средним называется среднее арифметическое наблюдавшихся значений СВ Y, соответствующих {X = x}.

Условным средним называется среднее арифметическое наблюдавшихся значений СВ X, соответствующих {Y =y}.

Условная средняя () – оценка условного математического ожидания M(Y|x) (M(X|y)).

Условные средние и являются функциями от x и y соответственно:

и .

Уравнение () называется выборочным уравнением регрессии Y на X (X на Y), а линия на плоскости, соответствующая этому уравнению, называется выборочной линией регрессии Y на X (X на Y).

При этом функция называется выборочной регрессией Y на X (X на Y).

Основной задачей регрессионного анализа является установление формы и изучение зависимости между СВ.

Основной задачей корреляционного анализа является выявление связи между СВ и оценка ее тесноты.

Для характеристики тесноты корреляционной зависимости между СВ используется понятие коэффициента корреляции:

,

где - корреляционный момент СВ X и Y,

- среднее квадратическое отклонение СВ X и Y.

Если , то СВ X и Y некоррелированы (коррелированы)

Свойства коэффициента корреляции

1. 

Чем ближе |r_xy| к 1, тем теснее связь между СВ X и Y. Различают связь слабую, умеренную, заметную, достаточно тесную, тесную и весьма тесную.

2. При между СВ X и Y имеет место линейная функциональная зависимость. В этом случае линии регрессии Y на X и X на Y совпадают, и все наблюдаемые значения располагаются на общей прямой.