ответы на матстат / 10

Оценка генеральной средней по выборочной средней.

В качестве оценки генеральной средней принимают выборочную среднюю

.

1. Покажем, что - несмещенная оценка, то есть при любом объеме выборки n:

.

Будем рассматривать как СВ и значения как независимые, одинаково распределенные СВ X_i. Так как СВ X_i распределены одинаково, то они имеют одинаковые числовые характеристики. В частности, M(X_i) = a для .

Тогда

(1)

.

Заменив в формуле (1) математическое ожидание а на , получим , следовательно, несмещенность оценки доказана.

при увеличении объема выборки n выборочная средняя стремится по вероятности к генеральной средней , следовательно, состоятельность оценки доказана.

Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида распределения генеральной совокупности. Можно доказать, что если генеральная совокупность распределена по нормальному закону, то дисперсия D() будет минимально возможной, то есть в этом случае оценка является эффективной