ИКТСС_2у_1 / Лекции / Теория электрических цепей-Лк1-ИКТиСС-2у-1-Панин
.pdf
Лекция № 1 Переходные процессы в линейных электрических цепях
Переходные процессы. Законы коммутации, начальные и конечные условия В ТЛЭЦ различают установившиеся и неустановившиеся режимы.
Установившийся режим – состояние цепи, в котором все токи и напряжения являются периодическими функциями времени, либо постоянными величинами (в цепях постоянного тока).
Переходные процессы имеют место в неустановившемся режиме. Под переходными процессами понимают переход цепи из одного установившегося режима к другому.
|
u(t) |
|
|
f(t) |
|
I установившейся режим |
i(t) |
|
t = 0_
II установившейся режим
t = ∞
t = 0 момент коммутации
t
Время переходного процесса теоретически равно бесконечности, но на практике это время зависит от параметров цепи.
Возникновение переходных процессов обусловлено коммутацией в цепях с реактивными элементами. В резистивных цепях переходные процессы не наблюдаются. Коммутация – включение, выключение; переключение параметров схемы или скачкообразное изменение воздействующего сигнала.
Коммутирующее устройство на схеме изображают в виде идеального ключа, у которого при замыкании сопротивление равно нулю, а в разомкнутом состоянии равно бесконечности:
K
Момент коммутации называется начальным моментом времени (t = 0). В момент коммутации действуют два закона коммутации:
I закон коммутации – ток в индуктивности до коммутации в установившемся режиме равен току в индуктивности в момент коммутации и с этого момента начинает плавно изменяться.
L
iL iL .
II закон коммутации – напряжение на ёмкости до коммутации в установившемся режиме равно напряжению на ёмкости в момент коммутации и с этого момента начинает плавно изменяться.
C
uC uC .
Спомощью законов коммутации определяются начальные условия для тока в индуктивности
инапряжения на емкости. Под начальными условиями понимают значения токов и напряжений в момент коммутации.
Начальные условия, определяемые с помощью законов коммутации, называют независимыми начальными условиями, т.е. iL ,uC .
Остальные являются зависимыми начальными условиями – определяются по законам Ома,
Кирхгофа по схеме замещения, составленной в момент коммутации t = 0.
В момент коммутации (t = 0) в общем случае индуктивность можно заменить источником тока с J iL , а емкость – источником напряжения с E uC . В частном случае при iL
и uC индуктивность заменяется обрывом, а емкость – коротким замыканием.
L |
J |
iL(0) = 0 |
C |
E |
uC(0) = 0 |
|
|
Для качественной оценки переходного процесса важно знать и конечные условия.
Конечные условия – это значение токов и напряжений в установившемся режиме при t = ∞.
Схемы замещения реактивных элементов для установившегося режима постоянного тока:
L
t = ∞ |
C |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Законы коммутации могут не выполняться и при некоторых коммутациях, затрагивающих ветви,
содержащие реактивные элементы. Коммутации такого типа называются некорректными. Анализ процессов в цепях при некорректных коммутациях производят с использованием принципов непрерывности потокосцепления (t) L iL(t) и электрического заряда q(t) C uC(t):
Принцип непрерывности потокосцепления – алгебраическая сумма потокосцеплений индуктивностей в любом замкнутом контуре электрической цепи являются непрерывными функциями времени:
(0 ) (0).
Принцип непрерывности электрического заряда – алгебраическая сумма зарядов ёмкостей,
подключённых к любому узлу электрической цепи, являются непрерывными функциями времени:
q(0 ) q(0).
Некорректность коммутации возникает вследствие излишне упрощенного рассмотрения процесса коммутации и может быть устранена при более строгом анализе.
Пример некорректной коммутации: определить токи в индуктивностях в установившихся режимах и в момент коммутации.
|
R1 |
L1 |
|
|
|
R2 |
K |
E |
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
Исходная схема до коммутации |
|
|
iL1(0 ) |
R1 |
iL2(0 ) |
|
|
|
iL1(0 ) E |
|
|
|
|
|
E |
|
R2 |
R1 |
|
|
||
|
|
|
iL2(0 ) 0 |
Схема до коммутации в установившемся режиме |
|
||
iL(0) |
R1 |
|
iL(0) iL1(0) |
iL2(0) J |
– цепь последовательная! |
||||||||
iL(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Используем принцип непрерывности потокосцепления |
|||||||||||
E |
|
R2 |
L1 iL1(0 ) L1 iL1(0) L2 iL2(0) (L1 L2) iL(0) |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
iL(0) L |
L1 |
iL1(0 |
) L |
L1 |
|
E |
|
||
|
J |
|
|
L |
L |
2 |
R |
1 |
J |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
||
Схема в момент коммутации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
iL( ) |
R1 |
iL( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E |
|
|
R |
2 |
|
iL( ) iL1 |
( ) iL2( ) E |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 R2 |
||||
Схема после коммутации в установившемся режиме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Классический метод расчета переходных процессов
Сущность метода состоит в составлении и решении дифференциального уравнения для мгновенных значений токов и напряжений на основании законов Кирхгофа. Порядок
дифференциального уравнения «n» определяется числом независимых начальных условий.
Другой способ по формуле: n nLC nC nL,
где nLC – число реактивных элементов,
nC – число независимых емкостных контуров, nL – число независимых индуктивных узлов.
Независимый емкостной контур – контур, образованный только ёмкостями или ёмкостями и независимыми источниками напряжения.
Независимый индуктивный узел – узел, к которому подключены только индуктивности или
индуктивности и независимые источники тока. |
|
|
Например: |
|
|
R1 |
L1 |
R2 |
C1 |
|
L2 |
|
L5 |
|
E |
C3 |
C4 |
C2 |
||
|
L3 |
L4 |
nLC 9, nC 2, nL 1.
В общем случае дифференциальное уравнение можно представить в виде:
an |
dnf(t) |
an 1 |
dn 1f(t) |
a1 |
|
df(t) |
a0 |
s t , |
dt |
|
|
||||||
|
|
dt |
|
dt |
|
|||
где a , ,an – коэффициенты, определяющие параметры цепи, f t – переходная величина, |
||||||||
s t – приложенное внешнее воздействие от источника. |
|
|
|
|
||||
Решение данного уравнения ищется в виде суммы общего fсв t |
и частного fпр t решений: |
|||||||
|
|
|
f t fсв t fпр t . |
|
||||
fсв t – свободная составляющая, определяется из однородного дифференциального
уравнения вида:
|
dnfсв(t) |
|
|
dn 1fсв(t) |
|
|
dfсв |
(t) |
|
|
an |
|
an 1 |
|
|
a1 |
|
|
|
a0 |
0. |
dt |
dt |
dt |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
fпр t – принужденная составляющая определяется из неоднородного дифференциального
уравнения в зависимости от вида воздействия, либо методами расчета цепей в установившемся режиме при t = ∞.
По виду ОДУ получим характеристическое уравнение, осуществив замену: d p. dt
Характеристическое уравнение: an pn an pn a p a .
Пусть pk – корни характеристического уравнения, при этом:
1. Если pk – отрицательные, вещественные и различные корни, то
fсв t A ep t A ep t An epn t .
2.Если pk – отрицательные, вещественные и равные корни, то
fсв t A A t A t An tn ep t.
3.Если pk – комплексно-сопряженные корни, например: p1,2 j св , то
fсв t A e t sin св t .
Контрольные вопросы
1.Что называют установившимся процессом?
2.Что называют переходным процессом?
3.Как долго существует переходный процесс в идеальном случае?
4.От чего зависит время переходного процесса в реальном случае?
5.Чем обусловлены переходные процессы?
6.Каковы причины возникновения переходных процессов?
7.В каких цепях переходные процессы не возникают?
8.Что называется коммутацией?
9.Как долго длится коммутация?
10.Сформулируйте I закон коммутации.
11.Сформулируйте II закон коммутации.
12.Как определяются независимые начальные условия?
13.Как определяются зависимые начальные условия?
14.Какой вид имеет свободная составляющая переходных колебаний в цепях первого порядка?
15.Как рассчитываются постоянные интегрирования в цепях первого порядка?
16.Чем заменяется индуктивность в момент коммутации, если ток в индуктивности до коммутации в установившемся режиме был равен нулю?
17.Чем заменяется ёмкость в момент коммутации, если напряжение на ёмкости до коммутации в установившемся режиме было равно нулю?
18.Чем заменяется индуктивность в момент коммутации, если ток в индуктивности до коммутации в установившемся режиме был отличен от нуля?
19.Чем заменяется ёмкость в момент коммутации, если напряжение на ёмкости до коммутации в установившемся режиме было отлично от нуля?
20.Как определяются конечные условия переходного процесса?
21.Чем заменяется индуктивность в установившемся режиме?
22.Чем заменяется ёмкость в установившемся режиме?
23.Что Вы понимаете под некорректной коммутацией?
24.Сформулируйте принцип непрерывности потокосцепления.
25.Сформулируйте принцип непрерывности электрического заряда.
26.В чём сущность классического метода анализа переходных процессов?
27.От чего зависит порядок дифференциального уравнения?
28.Что собой представляют независимые емкостные контуры?
29.Что собой представляют независимые индуктивные узлы?
30.Как определяется свободная составляющая переходной величины?
31.Как определяется принуждённая составляющая переходной величины?
32.Как получается характеристическое уравнение?
33.Запишите в аналитическом виде решение для свободной составляющей переходной величины, если корни характеристического уравнения являются отрицательными,
вещественными и различными.
34.Запишите в аналитическом виде решение для свободной составляющей переходной величины, если корни характеристического уравнения являются отрицательными,
вещественными и равными.
35.Запишите в аналитическом виде решение для свободной составляющей переходной величины, если корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряжёнными.
Переходные процессы в цепях первого порядка. Классический метод анализа Основные этапы решения классическим методом:
1.Определение начальных условий
2.Определение дифференциального уравнения
3.Определение характеристического уравнения
4.Определение свободной составляющей
5.Определение принуждённой составляющей
6.Определение неизвестных констант
7.Проверка полученного решения
Включение последовательной RL-цепи на постоянное напряжение Задача: определить переходной ток в индуктивности.
K |
|
R |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Ток в индуктивности до коммутации: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
iL , поскольку ключ разомкнут. |
|
|
|
|
|
|
L |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Согласно I закону коммутации: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iL iL – начальное условие (этап №1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
х.х. |
|
|
|
|
|
|
индуктивность заменяем разрывом. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Схема замещения при t = 0
На основании законов Кирхгофа составим дифференциальное уравнение (этап № 2) относительно переменной тока в индуктивности по схеме после коммутации, описывающей мгновенные значения токов и напряжений.
R |
|
RiL t uL t E , поскольку uL t L diL t , то |
|
iL(t) |
|
контур |
|
dt |
uL(t) |
RiL t LdiL t E – НДУ, его решение ищем |
|
E |
L |
|
|
|
dt |
|
|
iL t iLсв t iLпр t . |
Определим свободную составляющую, решая ОДУ: |
||
RiLсв t L diLсв t .
dt
Из ОДУ получим характеристическое уравнение (этап № 3), осуществляя замену d p.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
R Lp , откуда p |
R |
|
|
|
[c-1], где L |
L |
[c] – постоянная RL-цепи. |
|||
|
L |
|
||||||||
|
|
|
L |
|
R |
|||||
Знак «минус» в выражении p |
R |
|
|
|
указывает на то, что переходный процесс заканчивается |
|||||
|
|
|
||||||||
LL
инаступает установившийся режим.
Поскольку корень характеристического уравнения отрицательный и вещественный, то
R t
iLсв t Ae pt Ae L – свободная составляющая (этап № 4) переходного тока. Определим принуждённую составляющую (1 способ). Поскольку внешнее воздействие является постоянным, т.е. E const , то решение для принуждённой составляющей будем искать в виде: iLпр(t) const .
Осуществляя подстановку последнего соотношения в НДУ, получим:
diLпр t |
E , следовательно iLпр t |
E |
(этап № 5). |
|
RiLпр t L |
R |
|||
dt |
|
|
|
|
Определим принужденную составляющую тока в индуктивности при t = ∞ (2 способ). |
||||
|
R |
|
|
|
|
iLпр(t) |
Индуктивность заменяем перемычкой. |
||
|
На основании закона Ома: |
|||
E |
|
|||
|
iLпр t iL E – конечное условие. |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
R |
Схема замещения при t = ∞ |
|
|
|
|
Таким образом, вид переходного тока в индуктивности определяется в виде: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
iL t iLсв t iLпр t Ae |
|
t |
E |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определим const A (этап № 6), используя начальное условие iL . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
||
|
|
E |
|
|
|
|
E |
|
|
|
E |
|
|
|
t |
|
E |
|
E |
|
|
|
t |
|
|
||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
L |
|
|||||||||||||||||
iL Ae |
|
|
|
, |
откуда A |
R |
, т.е. iL t |
R |
e |
|
R |
|
|
e |
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Осуществим проверку (этап № 7) полученного решения задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iL |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
– удовлетворяет начальному условию; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
R |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
iL |
E |
|
|
R |
|
|
|
E |
|
|
L |
|
|
– удовлетворяет конечному условию; |
|||||
R |
e |
|
|
|
|
|
R |
||
|
|
|
|
|
|
|
Переходные напряжения на индуктивности и резисторе: |
|
|
|
||||
|
|
diL t |
R |
|
R |
|
|
|
|
L t |
|
L t |
|
. |
|
|
|
uL t L |
Ee |
, uR t RiL t E e |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим графики этих напряжений: |
|
|
|
|
|
||
|
u(t) |
|
|
Переходной процесс завершается |
|||
|
|
|
|
||||
E |
|
|
|
за время |
L L !!! |
||
|
|
|
uR (t) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
uL(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
L |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Постоянная времени последовательной RL-цепи L L графически определяется длиной |
|||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
подкасательной кривой uL(t) при любом значении t . |
|
|
|
||||
Выключение последовательной RL-цепи от источника постоянного напряжения |
|||||||
Задача: определить переходной ток в индуктивности. |
|
|
|
||||
|
|
R |
Определим ток в индуктивности до коммутации: |
||||
|
|
|
iL E . |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
R |
|
|
E |
K |
L |
На основании I закона коммутации: |
||||
|
iL E – ненулевое начальное условие. |
||||||
|
|
|
iL |
||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
Составим дифференциальное уравнение для цепи после коммутации: |
|
|
|
||||
По II закону Кирхгофа RiL t uL t , отсюда RiL t L diL t dt
Решение ОДУ определяется видом характеристического уравнения: R
iL t A e p t , где A определяется из начального условия iL |
E |
. |
|||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
||
Таким образом, определяем следующие переходные величины: |
|||||||||||
|
E |
e |
|
t |
|
|
|
|
|||
iL t |
L |
– переходный ток в индуктивности |
|||||||||
|
|||||||||||
|
R |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
diL |
|
|
t |
|
||||
uL t L |
|
L – переходное напряжение на индуктивности |
|||||||||
Ee |
|||||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||
– ОДУ.
pL , p R . L L
|
|
|
|
|
t |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
uR t RiL t E e |
L – переходное напряжение на резисторе |
||||||||||||
Построим соответствующие графики переходных напряжений: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
uR (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uL(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
||
|
|
|
Включение последовательной RC-цепи на постоянное напряжение |
||||||||||
Задача: определить переходное напряжение на емкости. |
|||||||||||||
|
K |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим напряжение на емкости до коммутации: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uC . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
На основании II закона коммутации: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uC uC . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим дифференциальное уравнение цепи после коммутации:
По II закону Кирхгофа RiC t uC t E, отсюда RC |
duC t |
uC t E – НДУ. |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
Полный вид решения: uC t uCсв t uСпр t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Определим свободную составляющую: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
RC |
duCсв t |
uCсв t – ОДУ, характеристическое уравнение RCp , |
||||||||||||
|
||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uСсв t Ae p t, p |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
RC |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|||
Принужденная составляющая при t = ∞ uCпр t uC E – конечное условие. |
||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C E, где A E из начального условия uC . |
||||||||||||
Общий вид реакции: uC t Ae |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Окончательное решение uC t E Ee |
C , uR t E uC t Ee |
C . |
||||||||||||