ИКТСС_2у_1 / Лекции / Теория электрических цепей-Лк3-ИКТиСС-2у-1-Панин

Лекция № 3 Нелинейные электрические цепи в стационарном режиме

Нелинейные резистивные элементы Нелинейными резистивными элементами (диодами) являются все полупроводниковые и

электронные двухполюсные безинерционные приборы. Единственной их характеристикой является зависимость мгновенного значения тока от приложенного мгновенного значения напряжения (ВАХ).

Для удобства двухполюсные нелинейные резистивные элементы будем называть нелинейными резисторами.

Обозначение:

Рассмотрим нелинейные резистивные четырехполюсники (транзисторы, электронные лампы)

При анализе транзисторов используется система уравнений вида:

u f i ,u . i f i ,u

Для нелинейных резисторов важным параметром является сопротивление (проводимость).

Существуют два вида сопротивления (проводимости).

Статическое сопротивление (статическая проводимость) – определяется отношением постоянного

Дифференциальное сопротивление (дифференциальная проводимость) – отношение приращения напряжения (тока) к приращению тока (напряжения).

Например: нелинейный резистор имеет ВАХ вида: i u a a u a u .

Определить статическое и дифференциальное сопротивление в точке u U .

1. Определяем значение тока, если u U : I a a U a U .

Данный способ является аналитическим. Рассмотрим графический способ определения статического и дифференциального сопротивления.

Нелинейные реактивные элементы К нелинейным реактивным элементам относят:

Нелинейные индуктивные элементы – катушки с ферромагнитными сердечниками.

Нелинейность обусловлена характеристикой намагниченности материала сердечника B H .

Поскольку Ф BS, а H iwL, где S – сечение, L – длина сердечника, то вид зависимости предопределяет характер вебер-амперной характеристики Ψ i , где Ψ Фw .

Представим вебер-амперные характеристики:

Нелинейный индуктивный элемент характеризуется:

Нелинейных емкостных элементов различают две группы: а) вариконды, нелинейность которых связана с зависимостью диэлектрической проницаемости ε от напряженности электрического поля E, б) варикапы – полупроводниковые диоды, нелинейная емкость которых определяется свойствами p-n-перехода.

Описываются вольт-кулонной характеристикой.

Нелинейный элемент емкости характеризуется статической и дифференциальной емкостью:

Методы расчета нелинейных резистивных электрических цепей Графо-аналитический метод расчета НЭ Рассмотрим последовательное соединение нелинейных резистивных элементов:

u

На основании II закона Кирхгофа: u u u получаем ВАХ НЭ.

Рассмотрим параллельное соединение нелинейных резистивных элементов.

i

u

На основании I закона Кирхгофа: i i i получаем ВАХ НЭ.

Аналитический метод расчета НЭ основан на законах Кирхгофа.

i

На основании законов Кирхгофа запишем уравнение:

Iнэ I J, E Uнэ IR .

Находим решение, если Uнэ :

I Iнэ J, E Uнэ Uнэ J R .

После преобразований получим:

R Uнэ Uнэ JR E .

Находим решение, если Uнэ :

I J , Uнэ E JR – второе решение.

Второе решение противоречит условию Uнэ , поэтому оставляем первое решение.

Если ВАХ НЭ описывалась более сложной функцией, то аналитическое решение получить было бы крайне сложно.

Аналитическое представление ВАХ Точное представление ВАХ в аналитическом виде крайне сложно, поэтому на первое место выходит приближенное представление ВАХ (задача аппроксимации).

Задача аппроксимации состоит в двух этапах:

1.Выбор аппроксимирующей функции f x

2.Выбор критерия оценки «близости» Λ в интервале аппроксимации a x b .

Λmax f x x – линейный критерий близости,

b a a

где x – аппроксимируемая функция.

Виды аппроксимации Полиномиальная (степенная) аппроксимация

В качестве аппроксимирующей функции используется алгебраический полином:

f x a a x a x an xn .

Добиваются совпадения значений аппроксимирующей и аппроксимируемой функций в возможно большем числе выбранных точек в интервале a x b . Соответствующий метод приближения называется интерполяция. Выбранные точки – узлы интерполирования их число на единицу превышает степень интерполирующего полинома, т.е. Nуз.инт. n .

Из условия f xk xk , k , , , ,n получим n систему линейных уравнений:

a a x a x an xn x a a x a x an xn x

a a xn a xn an xnn xn

Пример: интерполируем полиномом f x a a x в интервале x функцию x e x .

1.Определяем число узлов интерполирования: Nуз.инт. n .

2.Выбираем значение узлов интерполяции: x . , x .

3.Получим систему линейных уравнений:

x e x . Число узлов интерполяции: 3.

Кусочно-линейная аппроксимация заключается в замене реальной ВАХ приближенной, состоящей

из отрезков прямых линий, выбираемых касательными.

i

Аппроксимация трансцендентными функциями (экспоненты, гиперболические и другие функции).

i u A e u , i u A th u B , где A,B, – варьируемые параметры.

Контрольные вопросы

1.Приведите примеры нелинейных резистивных элементов. Как они обозначаются?

2.Что называется вольтамперной характеристикой (ВАХ)?

3.Что такое статическое и дифференциальное сопротивление? Как они определяются графически по ВАХ?

4.Какова причина проявления нелинейности индуктивного элемента?

5.Какова причина проявления нелинейности ёмкостного элемента (варикапа)?

6.Какова причина проявления нелинейности ёмкостного элемента (вариконда)?

7.Какие методы расчета нелинейных резистивных электрических цепей Вы знаете?

8.Что Вы понимаете под аппроксимацией ВАХ?

9.Какие виды аппроксимации ВАХ Вы знаете?

10.От чего зависит точность при полиномиальной аппроксимации?

Спектральные методы анализа нелинейных электрических цепей при гармоническом воздействии

u(t) Um cos t .

u(t) Требуется определить спектр отклика, т.е. спектр тока i(t).

Классический метод анализа заключается прямой подстановкой u(t) в i(u), но эта процедура является весьма громоздкой и сложной. Существуют следующие часто применяемые методы определения спектрального состава тока.

метод тригонометрических функций кратного аргумента

метод угла отсечки

метод трех и пяти ординат

Метод тригонометрических функций кратного аргумента

Этот метод применим в случае полиномиальной аппроксимации ВАХ. Рассмотрим

воздействие на нелинейный резистивный элемент, ВАХ которого аппроксимирована полиномом:

i u a a u a u ... an un ,

гармонического колебания u(t) Um cos t. Применяем графо-аналитический метод. Видно, что реакция тока является негармонической периодической функцией времени. Спектр тока содержит несколько гармоник (ряд Фурье), которые подлежат определению.

i(u) i(t)

Imax

0

Um u(t)

to

t

Осуществляя прямую подстановку, получаем:

Учитывая, что cosacosb cos a b cos a b имеем:

cos cos cos cos cos cos .

По аналогии можно получить:

cos cos cos , cos cos cos cos .