Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория электрических цепей-Лк2-ИКТиСС-2у-1-Панин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

339.74 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция № 2 Электрические цепи с распределенными параметрами (длинные линии)

Общие сведения о регулярных линиях передачи Линия передачи (длинная линия) – устройство, ограничивающее область распространения

электромагнитных колебаний и направляющее поток электромагнитной энергии в заданном направлении.

Линия называется регулярной, если в продольном направлении неизменны ее поперечное сечение, положение его в пространстве и электромагнитные свойства заполняющих ее сред.

Линия является однородной, если в произвольном поперечном сечении параметры среды неизменны.

Открытые линии передачи




1	2	3	4

1 – двухпроводная линия, 2 – открытая полосковая линия, 3 – однопроводная линия, 4 – открытая диэлектрическая линия.

Закрытые линии передачи

1	2	3	4

5 6

1 – коаксиальный кабель, 2 – прямоугольный волновод, 3 – круглый волновод, 4 – эллиптический волновод, 5 – частично-заполненный волновод, 6 – экранированная полосковая линия.

Длинные линии характеризуются первичными параметрами, т.е. параметрами, отнесенными к единице длины линии. К первичным параметрам относят:

1.Резистивное сопротивление единицы длины линии R0 [Омм].

2.Индуктивность единицы длины линии L0 [Гнм].

3.Емкость единицы длины линии C0 [Фм ].

4.Проводимость единицы длины линии G0 [Смм ].

Телеграфные уравнения

Рассмотрим элементарный участок длинной линии.

R0 Δx L0 Δx i i + Δi

G0 Δx

0 Δx

u + Δu

x Δx

Линия рассматривается как цепь с бесконечно большим числом звеньев, электрические параметры которых бесконечно малы.

Токи и напряжения в линии описываются системой телеграфных уравнений:


u x,t		R i x,t L	i x,t
			t
x
i x,t	G u x,t C		u x,t .
			t
x

Представим мгновенные токи и напряжения в виде комплексных действующих значений:

i x,t I x , u x,t U x , i x,t j I x , u x,t j U x .

Телеграфные уравнения запишем в более удобном виде:

dU x R I x j L I x R j L I x dx

dI x G U x j C U x G j C U x dx

Уравнения передачи для однородной длинной линии Продифференцируем в системе телеграфных уравнений по координате x первое уравнение:

d U x	R j L	dI x	.
dx		dx

Далее, используя второе уравнение, имеем:

	d	U x
				R j L		G j C U x .
				R j L		G j C U x .
		dx
Введем переменную							– коэффициент распространения.
Введем переменную			R j L G j C				– коэффициент распространения.

В итоге получаем однородное дифференциальное уравнение вида:
					d U x	U x .
						U x .
					dx
					dx

Составим характеристическое уравнение p

, из которого p

Решение для U x запишем в виде:

U x A e

x .

Используя телеграфные уравнения, определим I x .

I x

A e

R j L

Введем переменную Z

– волновое сопротивление линии.

R j L

G j C

В итоге можно записать:

U x A e

x ,

I x
		A e

	Z

x		x
	A e	.
	A e	.

Для определения неизвестных A и A зададим граничные условия вначале линии.

Пусть U U – напряжение на входе линии, I I – ток на входе линии, тогда

U A A	, I		A	A	, отсюда
		Z

A U I Z , A U I Z .

После подстановки, получим в явном виде уравнения для определения напряжений и токов в произвольной точке x.

U x U I Z e x U I Z e x ,

I x U I Z e x U I Z e x .

Z Z

Последние уравнения – есть уравнения передачи однородной длинной линии.

Поскольку ch

, sh

, то уравнения передачи можно

записать в более компактном виде:

U x U ch x I Z sh x,

I x U sh x I ch x.

Зададим граничные условия в конце линии (x = a).

Пусть U a U , I a I – напряжение и ток в конце линии. Тогда последние уравнения примут следующий вид:

U a U U ch a I Z sh a ,

I a I U sh a I ch a .

Выразим напряжение и ток на входе через напряжение и ток на выходе линии. Решаем методом определителей.

Z sh

a sh

a ,

Z sh

U ch

a I Z sh

a ,

I ch

a .

Окончательно получаем:

a I

a , I I

Из последних уравнений мы можем определить напряжение и ток вначале линии (x = 0), зная

напряжение и ток в конце линии (x = a). Следует отметить, что параметры

и Z относятся к

вторичным параметрам длинной линии.

Падающие и отраженные волны

В уравнениях передачи введем следующие обозначения:

Uпад

U I Z

, Uотр

U I Z

, Iпад

U I Z

, Iотр

U I Z

U x Uпад e

Uотр e

Uпад x Uотр x ,

I x Iпад e

Iотр e

Iпад x Iотр x ,

Отметим, что: Uпад x Z Iпад x , Uотр x Z Iотр x .

Напряжение и ток состоят из двух слагаемых. Первые слагаемые уменьшаются с увеличением расстояния от начала линии, вторые возрастают.

Вывод: в линии существует два типа волн: падающие и отраженные.

Пусть j , тогда напряжение и ток в мгновенной форме:


u x,t	Uпад	e x sin t x		Uотр		e x sin t x ,
i x,t	Iпад	e x sin t x	Iотр		e x sin t x .

Рассмотрим первые слагаемые в последних уравнениях:

uпад x,t

Uпад

e x sin t x ,

Uпад

iпад x,t

e x sin t x , где

Iпад

Вкаждом сечении линии колебания тока и напряжения являются гармоническими;

1.По мере удаления от начала линии амплитуда колебаний затухает по экспоненциальному закону.

2.В каждой последующей точке линии колебания отстают по фазе от колебаний в предыдущей точке (знак «минус» перед x).

Uпад(x) A

Скорость распространения вдоль цепи состояния равной фазы называется фазовой скоростью.

Определим фазовую скорость распространения волны vф из условия:

t x t x ,

откуда vф

x x

t t

Вывод: первые слагаемые описывают падающие волны.

Рассмотрим вторые слагаемые:

uотр x,t

e x sin t x , iотр x,t

e x sin t x , где

Uотр

Iотр

Эти слагаемые описывают волны точно такого же типа, как и падающие, но распространяющиеся в обратном направлении (знак «плюс» перед x). Эти волны называются отраженными.

Коэффициенты отражения по току и напряжению. Режимы работы линии

Представим длинную линию в следующем виде:
		ZГ	I1

					I2
					I2
	UГ		U1	Z2	U2

0		a	x
Определим коэффициент отражения волны от конца линии, нагруженной на сопротивление Z .
U Uпад a Uотр a Z Iпад a Iотр a ,
I Iпад a Iотр a		Uпад a Uотр a .
	Z

Напряжение на сопротивлении Z определяется согласно закону Ома: U Z I .

Принимая во внимание выше сказанное, имеем:

I Z Uпад a Uотр a и I Z Uпад a Uотр a .

Определим падающую и отраженную компоненту волны в конце линии.

Uпад	a	I	Z	Z , U	отр a	I	Z Z .

Введем понятие коэффициента отражения по напряжению, как отношение отраженной волны к падающей волне в конце линии.

Uотр a

Z Z

Uпад a

Z Z

По аналогии определим коэффициент отражения по току.

Iпад a Iотр a ,

Iпад a Iотр a .

Определим падающую и отраженную компоненту волны в конце линии.

пад

, I

отр

Выражение для коэффициента отражения по току примет вид:

Ri	Iотр a	Z Z	Ru .
	Iпад a	Z Z
В случае, когда Z – длинная линия является			короткозамкнутой. При этом, Ru , а

Ri , напряжение будет равно нулю, а ток имеет максимальное значение (режим короткого замыкания). Если Z – длинная линия работает на холостом ходе. При этом, Ru , а

Ri , ток будет равен нулю, а напряжение имеет максимальное значение (режим холостого

хода). Если Z Z – согласованный режим работы линии. При этом Ru Ri , энергия волны

передается через линию без потерь.

Контрольные вопросы

1.Что называется линией передачи?

2.Какая линия называется регулярной и нерегулярной?

3.Какая линия называется однородной и неоднородной?

4.Приведите примеры открытых линий передачи.

5.Приведите примеры закрытых линий передачи.

6.Перечислите первичные параметры длинной линии.

7.Представьте эквивалентную схему замещения элементарного отрезка длинной линии.

8.Запишите вид телеграфных уравнений линии.

9.Как определяется коэффициент распространения через первичные параметры линии?

10.Как определяется волновое сопротивление через первичные параметры линии?

11.Запишите вид уравнений передачи линии в гиперболических функциях.

12.Перечислите вторичные параметры длинной линии.

13.Что собой представляет волновой процесс? В чём отличие от колебательного?

14.Что собой представляют падающие и отраженные волны?

15.Что называется фазовой скоростью?

16.Как определяются коэффициенты отражения по току и напряжению в конце линии?

17.Перечислите основные режимы работы линии передачи.

Вторичные параметры длинной линии. Волновое сопротивление

Волновое сопротивление: Z	R j L	Z e	j	zo .
	G j C

Волновое сопротивление не зависит от длины линии, а определяется ее первичными параметрами.

Определим модуль и аргумент волнового сопротивления соответственно:

R ( L )

, zo

(arctg L

R arctg C

G ).

G ( C )

Построим графическую зависимость Z ( )

и zo( ). Для всех реально существующих

линий R

G L

C , поэтому:

Z ( )

zo( )

ωm

L C

φm

Определить ω ! Ответ:

R G

L C

Используя уравнения передачи вида: U

a I

a , I

определим напряжение и ток в начале линии при согласованном режиме, когдаZ Z , где Z –

сопротивление нагрузки:

U U ch a I Z sh a , I I ch a U sh a,

U U ch a U sh a , I I ch a I sh a,

U U (ch a sh a), I I (ch a sh a) .

a e

a .

Поскольку ch

, тогда ch

a sh

Окончательно получим:

a ,

a .

Из последних уравнений легко определить напряжение и ток в конце линии:

a , I

I e

a .

Напряжение и ток в любой точке линии при согласованном режиме определяются:

U(x) U

x ,

I(x) I

x .

Вторичные параметры длинной линии. Коэффициент распространения

Коэффициент распространения:

ej o

j , откуда

j L

j C

cos( o) – коэффициент ослабления,

sin( o) – коэффициент фазы.

Определим модуль и аргумент коэффициента распространения соответственно:

] ,

(arctg

arctg

( L )

][G

( C )

Построим графическую зависимость ( )

и o( ) .

( )

o ( )

R G

При согласованном режиме U(x) U

x , I(x) I

x , отсюда:

e( j )x .

I(x)

U(x)

Пусть U

ej u ,

I I ej i ,

U(x) U(x)ej ux , I(x) I(x)ej ix , тогда

ej( u ux)

ej( i ix)

e x ej x , следовательно

U(x)

I(x)

e x , ej( u ux)

ej( i ix )

ej x , откуда определяем:

U(x)

I(x)

[Нп/м], либо lg

[дБ/м]

U(x)

I(x)

U(x)

I(x)

x u ux i ix , для линии длинной x = 1м, получаем u ux i ix [рад/м].

Определение первичных параметров через вторичные параметры.

Входное сопротивление длинной линии Рассмотрим способ определения первичных параметров по известным вторичным параметрам.

Т.к.

, Z

R j L

, то

j L

j C

G j C

Z R j L ,

Z G j C .

Таким образом:

R Re{

Z }, L

Z }, G Re{

Z }, C

Z }.

Im{

Входное сопротивление Zвх линии определяется отношением напряжения и тока в начале линии. Определим входное сопротивление с помощью уравнений передачи:

Zвх

U ch

a I Z sh

I Z ch

a I Z sh

, после преобразований