Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория электрических цепей-Лк1-ИКТиСС-2у-1-Панин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

447.63 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

t f t dt f(0),	t t0 f t dt f t0 .

Изображение δ-функции: F(p) t e pt dt e0 1, т.е. t 1.

Согласно свойству запаздывания t t e pt .

Экспоненциальный импульс

f(t)

, t

e t

F(p) e t e pt dt

, т.е.

Теорема разложения (Хевисайда)

Представим изображение F(p) в виде дробно-рациональной функции:

F p

pn a

F p

bm pm b

Разложим F(p) на простые дроби:

F p

k p pk

где p

– простые корни характеристического уравнения: F (p) b

pm b

Ak – коэффициенты разложения.

F p

F p p p

F p

lim p p

lim

lim A

p pk k

F p

p pk k

отсюда определяем:

F pk

dF p

Ak ,

где F pk

F p

p pk

Подставим значения Ak в F(p), получим:

F p

F (p

)

F p

k [F (pk )] p pk

С учетом свойства линейности и epk t

, получим выражение для оригинала:

p pk

f t	m	F p	k	epk t
					.

	k F pk

Данное выражение позволяет определить оригинала по изображению в случае простых корней.

Если корни pk – комплексно-сопряженные, то оригинал определяется по формуле:

			F p
						k
f t Re							epk t .

		F		p	k

Пример: задано изображение в виде:
F(p)		p						F (p)	.
	p(p	p )
								F (p)

Определим корни уравнения F (p) :

p , p , p .

Определим производную [F (p)] p p , где [F (p )] , [F (p )] , [F (p )] .

Оригинал определяем по теореме разложения:

f(t)

F (p )

ep t

F (p )

ep t

F (p )

ep t

e t

e t .

[F (p )]

Контрольные вопросы

1.Какова идея операторного метода анализа переходных процессов?

2.В чём преимущество операторного метода перед классическим методом?

3.Запишите преобразование Лапласа. Укажите где изображение и оригинал.

4.Какой физический смысл носит комплексная переменная p?

5.Запишите обратное преобразование Лапласа. Укажите где изображение и оригинал.

6.Перечислите свойства преобразования Лапласа. Каким образом их можно доказать?

7.Запишите предельные соотношения. Для чего они необходимы?

8.Каково изображение единичной функции?

9.Что собой представляет - функция Дирака?

10.Какая связь между - функцией Дирака и единичной функцией?

11.Каково изображение - функции Дирака?

12.Запишите фильтрующее свойство - функции Дирака.

13.Каково изображение экспоненциальной функции?

14.Как определить оригинал по изображению в случае простых корней?

15.Как определить оригинал по изображению в случае комплексно-сопряженных корней?

Расчет переходных процессов операторным методом В качестве ознакомления с этим методом решим следующую задачу в случае нулевых начальных условий:

На основании II закона Кирхгофа после коммутации:

di(t)

Ri(t) L

i(t)dt e(t).

e(t)

Применим к уравнению преобразование Лапласа:

RI p LpI p

I p E p .

Понятно, что i(t) – оригинал тока, I(p) – изображение тока. Выразив из операторного уравнения изображение тока, получим закон Ома в операторной форме при нулевых начальных условиях:

I p

E p

R pL

Z p

где Z(p) – операторное сопротивление.

Y(p)

– операторная проводимость.

Z(p)

R pL

Применяя принцип дуальности в теории электрических цепей, запишем I и II законы Кирхгофа в операторной форме соответственно:

m	n	n
Ik(p) ,	Zk (p)Ik(p)	Ek(p).
k	k	k

Рассмотрим такую же задачу в случае ненулевых начальных условиях, т.е. i( ) , uC( ) :

Ri L

idt e(t), Ri L

idt uC e(t).

Применяя преобразование Лапласа, получим:

RI p LpI p LiL

I p

E p .

Изображение для тока:

E p LiL

Eэк(p)

I p

R pL

Z(p)

Соответствующая операторная схема замещения цепи после коммутации:

R	I(p)
	p L
E(p)
	L iL(0)
uC(0)	1
p	p C

Вывод: при составлении операторной схемы замещения необходимо иметь в виду:

iL(t)

iC(t)

uC(t)

ZL(p) p L

IL(p)			L iL(0)
			L iL(0)
ZC(p)	1
ZC(p)
	p	C


IC(p)			uC(0)



			p

Легко видеть связь между операторными и комплексными сопротивлениями, т.е.

ZL(p) p L, осуществляя подстановку p j , получим: ZL(j ) j L.

ZC(p)	1	, осуществляя подстановку p j , получим ZC(j )	1	.

	p C		j C

Т.к. p j , то операторные сопротивления являются наиболее общими функциями, чем комплексные сопротивления.

Наметим основные этапы анализа переходных процессов операторным методом:

1.Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий.

2.Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации.

3.Составление уравнений в операторной форме.

4.Решение уравнений относительно изображений искомых токов и напряжений.

5.Определение оригиналов искомых токов и напряжений.

Операторные передаточные функции Операторная передаточная функция (ОПФ) определяется как отношение изображения

выходной реакции цепи к изображению входного воздействия.

I1(p)

I2(p)

U p

, K

I p

U p

I p

U1(p)

ЧП

U2(p)

U p

I p

, K

I p

U p

Представим ОПФ в виде:

K(p)

an pn an pn a p a

W p

, либо K(p) H

(p p01)(p p02) (p p0n)

bm pm bm pm b p b

V p

(p p1)(p p2) (p pm)

где p ,p , ,p n – нули, p ,p , ,pm – полюсы ОПФ; H an bm .

Свойства ОПФ

1.ОПФ является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами

2.Полюсы ОПФ располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной p.

3.Степень полинома числителя ОПФ не превышает степень полинома знаменателя.

Пример

R			R
u1(t)	C	u2(t)	U1(p)

1	U2	(p)
pC

KU p

U p

pC U

pRC

Легко видеть связь между операторной передаточной функцией и комплексной передаточной функцией, т.е.

K(p) , осуществляя подстановку p j , получим: H(j ).

Вывод: операторная передаточная функция является наиболее общей, чем комплексная передаточная функция.

По виду ОПФ легко получить КПФ, следовательно, определить АЧХ и ФЧХ цепи, т.е.

KU p	1	, осуществляя подстановку p j , получим: Hu (j )		1	.

	1 pRC			1 j RC
Hu ( )	1		– АЧХ; u( ) arctg RC – ФЧХ.


	1 ( RC)2

Временной метод анализа переходных процессов Переходная и импульсная характеристика электрической цепи

Временной метод анализа переходных процессов тесно связан с такими понятиями как:

Переходная характеристика h t – реакция линейной электрической цепи на входное воздействие в виде функции Хевисайда.


1(t)	ЛЭЦ	h(t)	U1(p)	ЛЭЦ	U2(p)

U p

, откуда U

(p) K

(p)U (p) K

(p)

, откуда

U p

hu (t)

KU(p)

– переходная характеристика по напряжению.

KI(p)

KZ(p)

KY(p)

hi(t)

, hz(t)

, hy(t)

Импульсная характеристика g t – реакция линейной электрической цепи на входное воздействие в виде - функции Дирака.


δ(t)	ЛЭЦ	g(t)	U1(p)	ЛЭЦ	U2(p)

KU p U p , откуда U (p) KU(p)U (p) KU(p) , откуда

U p

gu(t) KU(p) – импульсная характеристика по напряжению.

gi(t) KI(p), gz(t) KZ(p), gy(t) KY(p)

Поскольку (t)

d (t)

то g(t)

dh(t)

h(t) (t)

d (t)

h(t) (t)

dh(t)

(t)h(t)

dh(t)

Учитывая фильтрующее свойство - функции (t)h(t) (t)h( ), получим:

g(t) (t)h( )

dh(t)

– связь между импульсной и переходной характеристикой.

Пример

1(t)

h(t)

U1(p)

U2(p)

Поскольку KU p

, то

hu (t)

KU p

p( pRC)

pRC

Определим оригинал по теореме разложения:

F(p)

F (p)

– изображение.

F (p)

p( pRC)

Корни полинома знаменателя: p

, p

Определим производную: [F (p)] pRC , причем [F (p )] , [F (p )] .

Переходная характеристика по напряжению:

e t

R C

C , где C RC.

Импульсная характеристика по напряжению:

dhu (t)

C .

gu(t) hu ( ) (t)

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте и запишите законы Кирхгофа в операторной форме.

2.Что представляет собой операторная схема замещения?

3.Как определяется операторное сопротивление на индуктивности?

4.Как определяется операторное сопротивление на ёмкости?

5.Чем заменяется индуктивность и ёмкость в операторной схеме замещения в случае независимых ненулевых начальных условий?

6.Назовите основные этапы анализа переходных процессов операторным методом.

7.Что называется операторной передаточной функцией?

8.Перечислите основные свойства операторной передаточной функции.

9.Как определить АЧХ и ФЧХ линейной цепи по виду операторной передаточной функции?

10.Что называется переходной характеристикой?

11.Как определить переходную характеристику, зная операторную передаточную функцию?

12.Что называется импульсной характеристикой?

13.Как определить импульсную характеристику, зная операторную передаточную функцию?

14.Какая связь между импульсной и переходной характеристикой?

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике. Интеграл Дюамеля.

Рассмотрим произвольную линейную электрическую цепь, переходная характеристика которой h(t) известна. Пусть внешнее воздействие на цепь задается в виде произвольной функции f1(t), равной нулю при t 0 и непрерывной при всех t , за исключением точки t 0, где f1(t)

может иметь конечный разрыв.

f1(t)	fk
	f2
	f1
f1(0)

0 2 k t

Функцию f1(t) можно приближённо представить в виде линейной комбинации единичных скачков (функций Хевисайда), смещенных один относительно другого на время :

f1(t) f1(0) 1(t) fk 1(t k ),

k 1

где f1(0) – высота начального скачка, fk – высота скачка в момент времени t k .

В соответствии с определением переходной характеристики реакция f2(t) цепи на каждое отдельное воздействие:

f2(0) f1(0)h(t), f2( ) f1 h(t ), , f2(k ) fk h(t k ).

Результирующая реакция: f2(t) f1(0)h(t) fk h(t k ). k 1

Очевидно, что точность представления входного воздействия f1(t) и реакции цепи f2(t)

возрастает с уменьшением шага разбиения по времени . При 0 суммирование заменяется интегрированием:

					n	fk			t	df1( )
f	2	(t) f	1	(0)h(t) lim			h(t k ) f	(0)h(t)			h(t )d .

				0			1		d
					k 1				0

f2(t) f1(0)h(t) f1( )h(t )d – I форма интеграла Дюамеля.

f (t) f ( )h(t) f (t )h( )d – II форма интеграла Дюамеля.

Интегрируя по частям, получим:

f (t) f ( )h(t) f ( )h (t )d – III форма интеграла Дюамеля.

f (t) f ( )h(t) f (t )h ( )d – IV форма интеграла Дюамеля.

С помощью интеграла Дюамеля можно определить реакцию цепи на заданное внешнее воздействие и в том случае, когда внешнее воздействие на цепь описывается кусочно-

непрерывной функцией, т.е. функцией, которая имеет конечное число конечных разрывов. В этом случае интервал интегрирования необходимо разбить на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции f1(t) и учесть реакцию цепи на конечные скачки функции f1(t) в точках разрыва.

Пример

f1(t)

f1(0)

Выделяем следующие интервалы

1. Интервал 1:t , f2 t 0.

f11(t)

	f12(t)
t1	F	t2	t
	2		f (t)
			13

2. Интервал 2: t t , f2 t f1 0 h t f11' h t d .

3. Интервал 3: t t t , f2 t f1 0 h t f11' h t d F1 h t t1 f12' h t d .

4. Интервал 4: t t ,

f2 t f1 0 h t f11' h t d F1 h t t1 f12' h t d F2 h t t2 f13' h t d .

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике. Интеграл наложения

Рассмотрим произвольную линейную электрическую цепь, импульсная характеристика которой g(t) известна. Пусть внешнее воздействие на цепь задается в виде произвольной функции f1(t), равной нулю при t 0 и непрерывной при всех t , за исключением точки t 0, где f1(t)

может иметь конечный разрыв.

f1(t)

f1(k )

f1(0)

k k

Функция f1(t) может быть приближённо представлена в виде суммы импульсов f1k (t)

длительностью , сдвинутых один относительно другого на :

f1(t) f1k (t).

k 0


Рассматривая элементарный импульс		f1k (t)(заштрихован) как разность двух скачков высотой
f1(k ), сдвинутых по времени на , последнее выражение можно представить в виде:
n		n		1(t k ) 1(t k )
f1(t) f1(k ) 1(t k ) 1(t k ) f1(k )					.

k 0		k 0
Учитывая, что
lim	1(t k ) 1(t k )		(t k ) ,

0

внешнее воздействие на цепь при достаточно малом шаге разбиения по времени можно представить в виде линейной комбинации единичных - импульсов, т.е.

n	n
f1(t) f1(k ) (t k ) Ak (t k ), где Ak		f1(k ) .
k 0	k 0

В соответствии с определением импульсной характеристики реакция цепи f2(t) на воздействие

одиночного - импульса равна произведению площади импульса Ak на импульсную

характеристику цепи g(t k ), т.е.

f2k (t) Ak g(t k ).

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
10.06.2015447.63 Кб23Теория электрических цепей-Лк1-ИКТиСС-2у-1-Панин.pdf
#
10.06.2015339.74 Кб22Теория электрических цепей-Лк2-ИКТиСС-2у-1-Панин.pdf
#
10.06.2015195.26 Кб21Теория электрических цепей-Лк3-ИКТиСС-2у-1-Панин.pdf
#
10.06.2015161.35 Кб22Теория электрических цепей-Лк4-ИКТиСС-2у-1-Панин.pdf